107. Sappiamo (punto 102) che il luogo dei punti equidistanti da due rette parallele date è la retta parallela media. Se quindi AB e CD (disegno 114) sono due paralleli e MN per loro è il parallelo medio, allora le distanze di qualsiasi punto E di questo parallelo medio da AB e CD sono uguali tra loro, cioè costruendo EF ⊥ AB ed EG ⊥ CD , otteniamo che EF = EG.

È chiaro che le perpendicolari costruite EF ed EG sono una continuazione l'una dell'altra e formano un segmento FG, perpendicolare ai nostri paralleli AB e CD, e questo segmento è diviso a metà dal parallelo medio (nel punto E). COSÌ, Ogni segmento perpendicolare a due paralleli e compreso tra essi è diviso a metà dal parallelo medio.

Sorge ora la domanda: se qualche segmento KL che non è perpendicolare ad AB e CD sarà diviso in due anche dal parallelo medio. Sia KL intersecante con MN nel punto O. Costruiamo per il punto O un segmento HI perpendicolare alle rette AB e CD. Allora OH = OI. Poiché inoltre ∠HOK = ∠IOL, entrambi verticali, i triangoli rettangoli OHK e OIL sono uguali, il che significa OK = OL. Quindi, risulta che qualsiasi segmento racchiuso tra due paralleli è diviso a metà dal parallelo medio.

Sia AB || CD (bozza 115). Avendo costruito tra loro una serie di segmenti qualsiasi EF, GH, KI, ecc., secondo quanto precede, troveremo che i punti medi di questi segmenti giacciono sul parallelo medio MN. In generale arriviamo alla seguente conclusione:

Il luogo geometrico dei punti medi di tutti i possibili segmenti racchiusi tra due paralleli è il parallelo medio.

Ciò dà luogo alla possibilità di diverse costruzioni della retta parallela media per due rette parallele date: 1) possiamo costruire qualsiasi segmento EF racchiuso tra due rette parallele date AB e CD, dividerlo a metà e costruire una retta MN || AB || CD è la retta MN e dovrebbe servire da media parallela, e dovrebbe dividere in due tutti i possibili segmenti (ad esempio GH, KI, ecc.) racchiusi tra AB e CD. 2) Possiamo costruire due segmenti, ad esempio EH e KI, racchiusi tra AB e CD, dividerli ciascuno a metà e costruire una linea retta MN attraverso i loro punti medi - questa dovrebbe servire da parallelo medio.

108. Applichiamo le proprietà del parallelo medio a figure familiari e, innanzitutto, al triangolo.

Consideriamo ∆ABC (disegno 116). Qui non ne abbiamo direttamente due parallele, ma possiamo sempre ottenerle, ad esempio, costruendo una retta EF || passante per il vertice A. aC (questa linea retta EF non può essere tracciata nel disegno, poiché non svolge un ruolo significativo in futuro e poiché è sufficiente sapere che esiste). Poi abbiamo due segmenti paralleli BC ed EF e due segmenti AB e AC racchiusi tra loro. Dividendoli a metà nei punti M e N (AM = MB e AN = NC) e costruendo una retta MN passante per M e N, otteniamo il parallelo medio MN, cioè MN || BC (e || EF, ma per noi questo non è importante). Da ciò concludiamo:

la retta che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al suo terzo lato.

Si chiama segmento che collega i punti medi di due lati di un triangolo la linea mediana del triangolo. Quindi, il nostro segmento MN è la linea mediana del nostro triangolo.

Consideriamo ∆ABC (disegno 117). Dividiamo ciascuno dei suoi lati a metà: sia M il punto medio di AB (sl. AM = MB), N il punto medio di AC (AN = NC) e P il punto medio di BC (BP = PC); Colleghiamo i punti M, N e P con i segmenti MN, MP e PN: ciascuno di questi segmenti è la linea mediana del nostro triangolo. Pertanto, ci sono tre linee centrali nel triangolo.

Secondo quanto sopra avremo: MN || BC, MP || AC e NP || AB. Pertanto AMPN, BMNP e PMNC sono parallelogrammi. Poiché in un parallelogramma i lati opposti sono uguali, abbiamo: MN = BP (dal parallelogramma BMNP), ma BP = BC/2 (poiché il punto P è il punto medio di BC); quindi MN = BC/2. Anche dal parallelogramma AMPN si ottiene: MP = AN = AC/2 e dal parallelogramma AMPN - PN = AM = AB/2. Da qui concludiamo:

ciascuna linea mediana di un triangolo che collega i punti medi dei suoi due lati è parallela alla terza e uguale alla metà di essa.

109. Passiamo ora ai quadrilateri e concentriamoci innanzitutto su quei quadrilateri in cui due lati sono paralleli. È consuetudine chiamare trapezi tali quadrilateri. Per l'inferno. 118 mostra due diversi tipi di trapezi: 1) trapezio ABCD, dove BC || AD, ma AB non è parallelo a CD - questo trapezio ha area (vedi paragrafo 79) e 2) trapezio A"B"C"D", dove A"D" || B"C" - questo trapezio non ha area (elemento 79).

Consideriamo innanzitutto il trapezio ABCD (disegno 118 bis), che ha area. Qui BD || ANNO DOMINI. Abbiamo quindi due rette parallele BC e AD e tra di esse i segmenti AB e CD. Dividendo questi segmenti a metà nei punti M e N (AM = MB e CN = ND) e collegandoli con una retta MN, si ottiene il parallelo medio MN per BC e AD, cioè MN || a.C. || ANNO DOMINI. Il segmento MN di questa retta si chiama linea mediana del trapezio (va aggiunto: “congiunge i punti medi di lati non paralleli”, perché in un trapezio, come in ogni quadrilatero, si possono considerare 6 linee mediane, il che avviene in paragrafo 110). Quindi abbiamo capito che MN || a.C. || ANNO DOMINI. Successivamente, dopo aver costruito la diagonale AC, otteniamo un altro terzo segmento AC, compreso tra i paralleli BC e AD, il cui punto medio dovrebbe trovarsi (punto 107) sul parallelo medio, cioè il punto P, dove MN e AC si intersecano, è il punto medio di il segmento AC. Pertanto MP è la linea mediana del triangolo ABC e PN è la linea mediana di ∆ACD. In base a quanto precedente abbiamo: MP = BC/2 e PN = AD/2. Da qui otteniamo: MN = MP + PN = BC/2 + AD/2 oppure MN = (BC + AD)/2. COSÌ,

la linea mediana che collega i punti medi dei lati non paralleli di un trapezio avente area è parallela ai suoi lati paralleli e uguale alla loro semisomma.

Consideriamo ora il trapezio ABCD (disegno 118 bis), che non ha area. Anche qui BC || AD e quindi i punti medi dei lati M e N AB e CD giacciono sulla media parallela, cioè anche qui abbiamo: MN || a.C. || ANNO DOMINI. Costruita la diagonale AC, otteniamo un segmento AC compreso tra il parallelo BC e AD, e il suo punto medio, punto P, deve giacere sul parallelo medio. Pertanto PM è la linea mediana del triangolo ABC e quindi PM = BC/2; anche PN è la linea mediana ∆ABC e, quindi, PN = AD/2. Poiché MN = PN – PM, otteniamo MN = PN – PM = AD/2 – BC/2 oppure MN = (AD – BC) / 2. Quindi,

la linea mediana che collega i punti medi dei lati non paralleli di un trapezio senza area è parallela ai suoi lati paralleli ed è uguale alla loro semidifferenza.

110. Sia un quadrilatero ABCD (avente area) - (disegno 119). Troviamo i punti medi di M, N, P e Q dei suoi lati e colleghiamoli a coppie. Otteniamo 6 linee centrali del quadrilatero.

Ecco le proprietà di queste linee intermedie.

1) Le linee mediane che collegano i punti medi dei lati successivi di un quadrilatero formano un parallelogramma.

Per chiarire questa proprietà costruiamo la diagonale AC. Allora da ∆ABC abbiamo (punto 108) MN || AC e da ∆ACD sulla stessa base: PQ || AC, - successivo, MN || P.Q. Avendo costruito un'altra diagonale BD, troviamo con il suo aiuto che NP || MQ, quindi MNPQ è un parallelogramma.

2) Le linee mediane di un quadrilatero che collegano i punti medi dei lati opposti sono reciprocamente bisecate.

Questa proprietà è ora ovvia poiché MP e NQ sono diagonali di un parallelogramma.
Per il punto di intersezione O delle rette MP e NQ passano anche rette che uniscono i punti medi delle diagonali AC e BD (la diagonale BD non è data nel disegno). Ciò consegue dal fatto che AC e BD sono lati del quadrilatero ACBD, che non ha area, al quale vale tutto quanto detto all'inizio di questo paragrafo.

111. Sapevamo (paragrafi 57, 59) dividere un segmento a metà e, quindi, in 4, in 8 e generalmente in 2n parti uguali. Ora possiamo dividere questo segmento in 3, 5 e generalmente in un numero qualsiasi di parti uguali.

Supponiamo, ad esempio, di voler dividere il segmento AB (disegno 120) in 5 parti uguali. Costruiamo una retta arbitraria AC passante per il punto A (che forma con AB un angolo diverso da quello raddrizzato) e tracciamo su AC cinque segmenti arbitrari, ma uguali, AE = EF = FG = GH = HO. Costruiamo una retta OB e attraverso i punti E, F, G e H costruiremo le rette EE", FF", GG", HH", parallele a OB.

Consideriamo ∆AFF" poiché AE = EF, allora E è il punto medio del lato AF ed EE" (è || FF") è la linea mediana di questo triangolo, quindi AE" = E"F".

Consideriamo ora il trapezio EE"G"G. Poiché EF = FG, FF" || EE", allora FF" è la linea mediana del trapezio EE"GG", - quindi, E"F" = F"G". Troviamo anche che GG" è la linea mediana del trapezio trapezio FF" H"H e, di conseguenza, F"G" = G"H", ecc. Combinando le uguaglianze risultanti, troviamo AE" = E"F" = F"G" = G"H" = H"B ", cioè il segmento AB è diviso in 5 parti uguali.

Dalla soluzione di questo problema possiamo trarre la seguente conclusione:

Se da un lato dell'angolo poniamo segmenti uguali e costruiamo una serie di rette parallele attraverso le loro estremità, dall'altro lato dell'angolo otterremo segmenti uguali.

Aggiunta. Abbiamo posato segmenti uguali su una linea retta di seguito, partendo dal punto di intersezione di due linee (AB e AC del disegno 120), ma è possibile ottenere lo stesso risultato con un metodo diverso di posa di segmenti uguali. Nel disegno 120 bis sono date due opzioni per questa costruzione: sulla retta AD (vedi disegno 120 bis a sinistra o a destra) stendiamo due segmenti uguali AB e CD e attraverso le loro estremità costruiamo quelli paralleli AA" || BB " || CC"||GG". Quindi prendi il punto O, il centro del segmento BC, e costruisci OO" || BB" || CC" || AA" || DD". Allora OO" è la linea mediana del trapezio BCC"B"; quindi B"O" = O"C (p. 109). Poiché AB = CD e BO = OC, allora anche AO = OD; quindi OO" è anche la linea mediana del trapezio ADD"A" (nel disegno a lato a destra questo trapezio AGGIUNGI "A" - non avendo area, vedi paragrafo 109) - e anche A"O" = O"D". Quindi abbiamo A"O" - B"O" = O"D" - O"C" (poiché sia ​​i minuendi che i sottraendo di entrambe le differenze sono uguali), o A"B" = C"D". Sono possibili anche altre combinazioni (ad esempio, spostare il CD negativo della figura di destra in modo che il punto C si trovi a destra del punto di intersezione delle linee AD e A "D"). La conclusione generale è questa: se si costruiscono due linee rette, su una di esse si stendono due segmenti uguali e si costruiscono segmenti paralleli attraverso le loro estremità, allora queste ultime evidenzieranno due segmenti uguali anche sull'altra linea.

112. Esercizi.

1. Le linee parallele ai suoi lati sono costruite attraverso i vertici di questo triangolo. Mostra che il nuovo triangolo ha i lati lunghi il doppio dei lati di quello dato, e che i vertici di quello dato sono i punti medi dei lati di quello nuovo (confronta l'esercizio 7 del paragrafo 54).
2. Costruisci un triangolo dati i punti medi dei suoi tre lati.
3. Costruisci un parallelogramma dati i punti medi dei suoi tre lati.
4. È noto (punto 110) che i punti medi dei quattro lati di un quadrilatero sono i vertici di un parallelogramma. Quando questo parallelogramma si trasforma in un rombo, quando in un rettangolo, quando in un quadrato?
5. La retta che collega il vertice del triangolo con il centro del lato opposto (mediana) e la retta che congiunge i punti medi degli altri due lati del triangolo sono reciprocamente bisecate.
6. Estendiamo un lato del triangolo fino a un segmento uguale a questo lato e colleghiamo l'estremità del segmento con il centro dell'altro lato. L'ultima linea di collegamento taglia un segmento pari a 1/3 di questo lato dal terzo lato del triangolo. (Costruire un'altra retta parallela all'ultima linea che collega il vertice del triangolo opposto al lato allungato).
7. Se sul lato AB del parallelogramma ABCD poniamo il segmento AM = (1/n)AB (ad esempio (1/7)AB) e colleghiamo D con M, allora DM intersecherà la diagonale AC nel punto N in modo che AN = (1/( n+1))AC (nell'esempio preso (1/8)AC).
   Per scoprirlo, nel proseguimento del lato AB, mettiamo da parte BM" = AM e connettiamo C con M"; poi C"M" || DM, – accettare la clausola 111.

linea mediana figure in planimetria - un segmento che collega i punti medi di due lati di una determinata figura. Il concetto è utilizzato per le seguenti figure: triangolo, quadrilatero, trapezio.

Linea mediana del triangolo

Proprietà

• la linea mediana del triangolo è parallela alla base e pari alla metà di essa.
• la linea mediana taglia un triangolo simile ed omotetico a quello originale con coefficiente 1/2; la sua area è pari ad un quarto dell'area del triangolo originario.
• le tre linee centrali dividono il triangolo originale in quattro triangoli uguali. Il centro di questi triangoli è chiamato triangolo complementare o mediale.

Segni

• se un segmento è parallelo a uno dei lati del triangolo e collega il punto medio di un lato del triangolo con un punto situato sull'altro lato del triangolo, allora questa è la linea mediana.

Linea mediana di un quadrilatero

Linea mediana di un quadrilatero- un segmento che collega i punti medi dei lati opposti di un quadrilatero.

Proprietà

La prima linea collega 2 lati opposti. Il secondo collega gli altri 2 lati opposti. Il terzo collega i centri di due diagonali (non in tutti i quadrilateri le diagonali sono divise a metà nel punto di intersezione).

• Se in un quadrilatero convesso la linea mediana forma angoli uguali con le diagonali del quadrilatero, allora le diagonali sono uguali.
• La lunghezza della linea mediana di un quadrilatero è minore della metà della somma degli altri due lati o uguale ad essa se questi lati sono paralleli, e solo in questo caso.
• I punti medi dei lati di un quadrilatero arbitrario sono i vertici di un parallelogramma. La sua area è pari alla metà dell'area del quadrilatero e il suo centro si trova nel punto di intersezione delle linee mediane. Questo parallelogramma è chiamato parallelogramma di Varignon;
• L'ultimo punto significa quanto segue: in un quadrilatero convesso puoi disegnarne quattro linee mediane del secondo tipo. Linee mediane del secondo tipo- quattro segmenti interni ad un quadrilatero, passanti per i punti medi dei lati adiacenti paralleli alle diagonali. quattro linee mediane del secondo tipo di un quadrilatero convesso, taglialo in quattro triangoli e un quadrilatero centrale. Questo quadrilatero centrale è un parallelogramma di Varignon.
• Il punto di intersezione delle linee mediane di un quadrilatero è il loro punto medio comune e divide in due il segmento che collega i punti medi delle diagonali. Inoltre, è il baricentro dei vertici del quadrilatero.
• In un quadrilatero arbitrario, il vettore della linea mediana è uguale alla metà della somma dei vettori delle basi.

Linea mediana del trapezio

Linea mediana del trapezio

Linea mediana del trapezio- un segmento che collega i punti medi dei lati di questo trapezio. Il segmento che collega i punti medi delle basi del trapezio si chiama seconda linea mediana del trapezio.

Si calcola utilizzando la formula: E F = UN D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), Dove ANNO DOMINI E AVANTI CRISTO.- la base del trapezio.

introduzione

La geometria è parte integrante della cultura generale e i metodi geometrici servono come strumento per comprendere il mondo, contribuiscono alla formazione di idee scientifiche sullo spazio circostante e alla scoperta dell'armonia e della perfezione dell'Universo. La geometria inizia con un triangolo. Da due millenni ormai il triangolo è simbolo della geometria, ma non è un simbolo. Il triangolo è un atomo di geometria. Il triangolo è inesauribile: le sue nuove proprietà vengono costantemente scoperte. Per parlare di tutte le sue proprietà conosciute occorre un volume paragonabile per volume a quello della Grande Enciclopedia. Vogliamo parlare delle linee mediane delle forme geometriche e delle loro proprietà.

Il nostro lavoro traccia una catena di teoremi che copre l'intero corso di geometria. Inizia con un teorema sulle linee mediane di un triangolo e conduce a proprietà interessanti del tetraedro e di altri poliedri.

La linea mediana di una figura è un segmento che collega i punti medi di due lati di una determinata figura.

Proprietà delle linee mediane

Proprietà di un triangolo:

· tracciando tutte e tre le linee centrali si formano 4 triangoli uguali, simili a quello originale con coefficiente 1/2.

· la linea mediana è parallela alla base del triangolo e uguale alla sua metà;

· la linea di mezzo taglia un triangolo simile a questo, la cui area è pari a un quarto della sua area.

Proprietà di un quadrilatero:

· se in un quadrilatero convesso la linea mediana forma angoli uguali con le diagonali del quadrilatero, allora le diagonali sono uguali.

· la lunghezza della linea mediana di un quadrilatero è minore della metà della somma degli altri due lati o uguale ad essa se questi lati sono paralleli, e solo in questo caso.

· i punti medi dei lati di un quadrilatero arbitrario sono i vertici di un parallelogramma. La sua area è pari alla metà dell'area del quadrilatero e il suo centro si trova nel punto di intersezione delle linee mediane. Questo parallelogramma è chiamato parallelogramma di Varignon;

· Il punto di intersezione delle linee mediane di un quadrilatero è il loro punto medio comune e divide in due il segmento che collega i punti medi delle diagonali. Inoltre, è il baricentro dei vertici del quadrilatero.

Proprietà del trapezio:

· la linea mediana è parallela alle basi del trapezio e uguale alla loro semisomma;

I punti medi dei lati di un trapezio isoscele sono i vertici di un rombo.

Triangolo, quadrilatero, parallelogramma

A qualsiasi triangolo KLM possono essere attaccati tre triangoli uguali AKM, BLK, CLM, ciascuno dei quali, insieme al triangolo KLM, forma un parallelogramma (Fig. 1). In questo caso AK = ML = KB, e il vertice K è adiacente a tre angoli pari a tre diversi angoli del triangolo, per un totale di 180°, quindi K è il centro del segmento AB; allo stesso modo, L è il punto medio del segmento BC e M è il punto medio del segmento CA.

Teorema 1. Se colleghiamo i punti medi dei lati di qualsiasi triangolo, otteniamo quattro triangoli uguali, con quello centrale che forma un parallelogramma con ciascuno degli altri tre.

Questa formulazione coinvolge tutte e tre le linee centrali del triangolo contemporaneamente.

Teorema 2. Il segmento che collega i punti medi dei due lati del triangolo è parallelo al terzo lato del triangolo e pari alla metà di esso (vedi Fig. 1).

È questo teorema e il suo contrario - che una linea retta parallela alla base e passante per il centro di un lato di un triangolo divide l'altro lato a metà - sono più spesso necessari quando si risolvono i problemi.

Dal teorema sulle linee mediane di un triangolo segue la proprietà della linea mediana di un trapezio (Fig. 2), così come i teoremi sui segmenti che collegano i punti medi dei lati di un quadrilatero arbitrario.

Teorema 3. I punti medi dei lati di un quadrilatero sono i vertici di un parallelogramma. I lati di questo parallelogramma sono paralleli alle diagonali del quadrilatero e le loro lunghezze sono pari alla metà delle lunghezze delle diagonali.

Infatti, se K e L sono i punti medi dei lati AB e BC (Fig. 3), allora KL è la linea mediana del triangolo ABC, quindi il segmento KL è parallelo alla diagonale AC e pari alla metà di essa; se M e N sono i punti medi dei lati CD e AD, allora anche il segmento MN è parallelo ad AC e uguale ad AC/2. Pertanto i segmenti KL e MN sono paralleli e uguali tra loro, il che significa che il quadrilatero KLMN è un parallelogramma.

Come conseguenza del Teorema 3, otteniamo un fatto interessante (Parte 4).

Teorema 4. In ogni quadrilatero i segmenti che collegano i punti medi dei lati opposti sono divisi a metà dal punto di intersezione.

In questi segmenti puoi vedere le diagonali del parallelogramma (vedi Fig. 3), e nel parallelogramma le diagonali sono divise a metà dal punto di intersezione (questo punto è il centro di simmetria del parallelogramma).

Vediamo che i Teoremi 3 e 4 e il nostro ragionamento rimangono veri sia per un quadrilatero non convesso che per un quadrilatero autointersecante con linea spezzata chiusa (Fig. 4; in quest’ultimo caso può risultare che il parallelogramma KLMN è “degenere” - i punti K, L, M, N giacciono sulla stessa retta).

Mostriamo come dai Teoremi 3 e 4 si può derivare il teorema principale sulle mediane di un triangolo.

Teorema 5. Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto e lo dividono in un rapporto di 2:1 (contando dal vertice da cui si traccia la mediana).

Disegniamo due mediane AL e SC del triangolo ABC. Sia O il loro punto di intersezione. I punti medi dei lati di un quadrilatero non convesso ABCO sono i punti K, L, M e N (Fig. 5) - i vertici del parallelogramma e il punto di intersezione delle sue diagonali KM e LN per la nostra configurazione saranno il punto di intersezione delle mediane O. Quindi, AN = NO = OL e CM = MO = OK, cioè il punto O divide ciascuna delle mediane AL e CK in un rapporto di 2:1.

Al posto della mediana SC, potremmo considerare la mediana ricavata dal vertice B e assicurarci allo stesso modo che essa divida la mediana AL nel rapporto 2:1, cioè passi per lo stesso punto O.

3. Quadrangolo e tetraedro. Centri di massa

I teoremi 3 e 4 valgono anche per qualsiasi linea spezzata spaziale chiusa costituita da quattro anelli AB, BC, CD, DA, i cui quattro vertici A, B, C, D non giacciono sullo stesso piano.

Un tale quadrilatero spaziale può essere ottenuto ritagliando un quadrilatero ABCD dalla carta e piegandolo diagonalmente di un certo angolo (Fig. 6, a). È chiaro che le linee mediane KL e MN dei triangoli ABC e ADC rimangono le loro linee mediane e saranno parallele al segmento AC e uguali ad AC/2. (Qui usiamo il fatto che la proprietà fondamentale delle rette parallele rimane vera per lo spazio: se due rette KL e MN sono parallele alla terza retta AC, allora KL e MN giacciono sullo stesso piano e sono parallele tra loro.)

Pertanto, i punti K, L, M, N sono i vertici di un parallelogramma; Pertanto, i segmenti KM e LN si intersecano e sono divisi a metà dal punto di intersezione. Invece di un quadrilatero, possiamo parlare di un tetraedro - una piramide triangolare ABCD: i punti medi K, L, M, N dei suoi bordi AB, AC, CD e DA giacciono sempre sullo stesso piano. Tagliando il tetraedro lungo questo piano (Fig. 6, b), otteniamo un parallelogramma KLMN, i cui due lati sono paralleli al bordo AC e uguali

AC/2, e gli altri due sono paralleli al bordo BD e uguali a BD/2.

Lo stesso parallelogramma – la “sezione centrale” del tetraedro – può essere costruito per altre coppie di bordi opposti. Ciascuno di questi tre parallelogrammi ha una diagonale comune. In questo caso i punti medi delle diagonali coincidono. Quindi otteniamo un interessante corollario:

Teorema 6. Tre segmenti che collegano i punti medi dei bordi opposti del tetraedro si intersecano in un punto e sono divisi a metà da esso (Fig. 7).

Questo e altri fatti sopra discussi vengono naturalmente spiegati nel linguaggio della meccanica, utilizzando il concetto di centro di massa. Il Teorema 5 parla di uno dei punti notevoli del triangolo: il punto di intersezione delle mediane; nel Teorema 6 - su un punto notevole per i quattro vertici di un tetraedro. Questi punti sono rispettivamente i centri di massa del triangolo e del tetraedro. Torniamo prima al Teorema 5 sulle mediane.

Posizioniamo tre pesi identici ai vertici del triangolo (Fig. 8).

Prendiamo la massa di ciascuno come uno. Troviamo il centro di massa di questo sistema di carico.

Consideriamo innanzitutto due pesi posti ai vertici A e B: il loro baricentro si trova al centro del segmento AB, quindi questi pesi possono essere sostituiti da un peso di massa 2, posto al centro K del segmento AB (Fig. 8, a). Ora devi trovare il centro di massa di un sistema di due carichi: uno con massa 1 nel punto C e il secondo con massa 2 nel punto K. Secondo la regola della leva, il centro di massa di un tale sistema si trova in punto O, dividendo il segmento SC nel rapporto 2:1 (più vicino al carico nel punto K con una massa maggiore - Fig. 8, b).

Potremmo prima combinare i carichi nei punti B e C, e poi il carico risultante della massa 2 nel mezzo L del segmento BC con il carico nel punto A. Oppure combinare prima i carichi A e C, a. quindi aggiungi B. In ogni caso dovremmo ottenere lo stesso risultato. Il centro di massa si trova quindi nel punto O, dividendo ciascuna delle mediane in un rapporto di 2:1, contando dal vertice. Considerazioni simili potrebbero spiegare il Teorema 4 - il fatto che i segmenti che collegano i punti medi dei lati opposti di un quadrilatero si dividono a metà (fungono da diagonali di un parallelogramma): è sufficiente porre pesi identici ai vertici del quadrilatero e combinateli a coppie in due modi (Fig. 9) .

Naturalmente, quattro unità di peso situate su un piano o nello spazio (ai vertici di un tetraedro) possono essere divise in due coppie in tre modi; il centro di massa si trova a metà tra i punti medi dei segmenti che collegano queste coppie di punti (Fig. 10) - spiegazione del Teorema 6. (Per un quadrilatero piano, il risultato ottenuto è simile a questo: due segmenti che collegano i punti medi di lati opposti e un segmento che collega i punti medi delle diagonali, si intersecano in un punto O e lo dividono a metà).

Attraverso il punto O - il centro di massa di quattro carichi identici - passano altri quattro segmenti, collegandoli ciascuno con il centro di massa degli altri tre. Questi quattro segmenti sono divisi dal punto O in un rapporto di 3:1. Per spiegare questo fatto bisogna prima trovare il centro di massa dei tre pesi e poi attaccare il quarto.

4. Tetraedro, ottaedro, parallelepipedo, cubo

All'inizio del lavoro, abbiamo osservato un triangolo diviso dalle linee centrali in quattro triangoli identici (vedi Fig. 1). Proviamo a fare la stessa costruzione per una piramide triangolare arbitraria (tetraedro). Tagliamo il tetraedro a pezzi come segue: attraverso la metà dei tre bordi che escono da ciascun vertice, eseguiamo un taglio piatto (Fig. 11, a). Quindi quattro piccoli tetraedri identici verranno tagliati dal tetraedro. Per analogia con un triangolo, si potrebbe pensare che al centro ci sia un altro tetraedro simile. Ma non è così: il poliedro che rimane del grande tetraedro dopo aver rimosso i quattro piccoli avrà sei vertici e otto facce: si chiama ottaedro (Fig. 11.6). Un modo conveniente per verificarlo è utilizzare un pezzo di formaggio a forma di tetraedro. L'ottaedro risultante ha un centro di simmetria, poiché i punti medi dei bordi opposti del tetraedro si intersecano in un punto comune e ne sono secati in due.

Una costruzione interessante è associata ad un triangolo diviso dalle linee mediane in quattro triangoli: possiamo considerare questa figura come lo sviluppo di un certo tetraedro.

Immaginiamo un triangolo acuto ritagliato di carta. Piegandolo lungo le linee centrali in modo che i vertici convergano in un punto, e incollando i bordi della carta convergenti in questo punto, otteniamo un tetraedro in cui tutte e quattro le facce sono triangoli uguali; i suoi bordi opposti sono uguali (Fig. 12). Un tetraedro di questo tipo è detto semiregolare. Ciascuna delle tre "sezioni centrali" di questo tetraedro - parallelogrammi i cui lati sono paralleli ai bordi opposti e uguali alle loro metà - sarà un rombo.

Pertanto, le diagonali di questi parallelogrammi - tre segmenti che collegano i punti medi dei bordi opposti - sono perpendicolari tra loro. Tra le numerose proprietà di un tetraedro semiregolare, notiamo la seguente: la somma degli angoli convergenti in ciascuno dei suoi vertici è pari a 180° (questi angoli sono rispettivamente uguali agli angoli del triangolo originario). In particolare, se partiamo da un triangolo equilatero, otteniamo un tetraedro regolare

All'inizio del lavoro abbiamo visto che ogni triangolo può essere considerato come un triangolo formato dalle linee mediane di un triangolo più grande. Non esiste un'analogia diretta nello spazio per una tale costruzione. Ma si scopre che qualsiasi tetraedro può essere considerato come il "nucleo" di un parallelepipedo, in cui tutti e sei i bordi del tetraedro fungono da diagonali delle facce. Per fare ciò, devi eseguire la seguente costruzione nello spazio. Attraverso ciascun bordo del tetraedro disegniamo un piano parallelo al bordo opposto. I piani disegnati attraverso i bordi opposti del tetraedro saranno paralleli tra loro (sono paralleli al piano della “sezione centrale” - un parallelogramma con i vertici al centro degli altri quattro bordi del tetraedro). Si ottengono così tre coppie di piani paralleli, la cui intersezione forma il parallelepipedo desiderato (due piani paralleli vengono intersecati da un terzo lungo rette parallele). I vertici del tetraedro servono come quattro vertici non adiacenti del parallelepipedo costruito (Fig. 13). Al contrario, in qualsiasi parallelepipedo è possibile selezionare quattro vertici non adiacenti e ritagliare da esso tetraedri angolari con piani passanti per ciascuno di essi. Successivamente, rimarrà il "nucleo": un tetraedro, i cui bordi sono le diagonali delle facce del parallelepipedo.

Se il tetraedro originale è semiregolare, allora ciascuna faccia del parallelepipedo costruito sarà un parallelogramma con diagonali uguali, cioè rettangolo.

È vero anche il contrario: il “nucleo” di un parallelepipedo rettangolare è un tetraedro semiregolare. Tre rombi - le sezioni centrali di un simile tetraedro - giacciono su tre piani reciprocamente perpendicolari. Servono come piani di simmetria dell'ottaedro ottenuto da un tale tetraedro tagliando gli angoli.

Per un tetraedro regolare, il parallelepipedo descritto attorno ad esso sarà un cubo (Fig. 14), e i centri delle facce di questo cubo - i centri dei bordi del tetraedro - saranno i vertici di un ottaedro regolare, tutti le cui facce sono triangoli regolari. (I tre piani di simmetria dell'ottaedro intersecano il tetraedro in quadrati.)

Pertanto, nella Figura 14 vediamo immediatamente tre dei cinque solidi platonici (poliedri regolari): cubo, tetraedro e ottaedro.

Un poligono è una parte di un piano delimitata da una linea spezzata chiusa. Gli angoli di un poligono sono indicati dai punti dei vertici del poligono. I vertici degli angoli di un poligono e i vertici di un poligono sono punti coincidenti.

Definizione. Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli.

Proprietà di un parallelogramma

1. I lati opposti sono uguali.
Nella fig. undici AB = CD; AVANTI CRISTO. = ANNO DOMINI.

2. Gli angoli opposti sono uguali (due angoli acuti e due ottusi).
Nella fig. 11∠ UN = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Diagonali (segmenti di linea che collegano due vertici opposti) si intersecano e sono divisi a metà dal punto di intersezione.

Nella fig. 11 segmenti A.O. = O.C.; B.O. = D.O..

Definizione. Un trapezio è un quadrilatero in cui due lati opposti sono paralleli e gli altri due no.

Lati paralleli si chiamano lei motivi, e gli altri due lati lo sono lati.

Tipi di trapezi

1. Trapezio, i cui lati non sono uguali,
chiamato versatile(Fig. 12).

2. Si chiama un trapezio i cui lati sono uguali isoscele(Fig. 13).

3. Si chiama trapezio in cui un lato forma un angolo retto con le basi rettangolare(Fig. 14).

Il segmento che collega i punti medi dei lati laterali del trapezio (Fig. 15) è chiamato linea mediana del trapezio ( MN). La linea mediana del trapezio è parallela alle basi ed è uguale alla loro semisomma.

Un trapezio può essere chiamato triangolo troncato (Fig. 17), quindi i nomi dei trapezi sono simili ai nomi dei triangoli (i triangoli sono scaleni, isosceli, rettangolari).

Area del parallelogramma e del trapezio

Regola. Area di un parallelogrammaè uguale al prodotto del suo lato per l'altezza tracciata su questo lato.

Definizione

Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.

Teorema (primo segno di un parallelogramma)

Se due lati di un quadrilatero sono uguali e paralleli, allora il quadrilatero è un parallelogramma.

Prova

Siano paralleli i lati \(AB\) e \(CD\) nel quadrilatero \(ABCD\) e \(AB = CD\) .

Disegniamo una diagonale \(AC\) dividendo questo quadrilatero in due triangoli uguali: \(ABC\) e \(CDA\) . Questi triangoli sono uguali in due lati e l'angolo tra loro (\(AC\) è il lato comune, \(AB = CD\) per condizione, \(\angle 1 = \angle 2\) come angoli trasversali all'intersezione di rette parallele \ (AB\) e \(CD\) secante \(AC\) ), quindi \(\angolo 3 = \angolo 4\) . Ma gli angoli \(3\) e \(4\) giacciono trasversalmente all'intersezione delle rette \(AD\) e \(BC\) con la secante \(AC\), quindi \(AD\parallela BC \) . Pertanto, nel quadrilatero \(ABCD\) i lati opposti sono paralleli a due a due e, quindi, il quadrilatero \(ABCD\) è un parallelogramma.

Teorema (secondo segno di un parallelogramma)

Se in un quadrilatero i lati opposti sono uguali a coppie, allora questo quadrilatero è un parallelogramma.

Prova

Disegniamo una diagonale \(AC\) di questo quadrilatero \(ABCD\) dividendolo nei triangoli \(ABC\) e \(CDA\) .

Questi triangoli sono uguali su tre lati (\(AC\) – comune, \(AB = CD\) e \(BC = DA\) per condizione), quindi \(\angolo 1 = \angolo 2\) – giacente trasversalmente in \(AB\) e \(CD\) e secante \(AC\) . Ne consegue che \(AB\parallel CD\) . Poiché \(AB = CD\) e \(AB\parallelo CD\) , secondo il primo criterio del parallelogramma, il quadrilatero \(ABCD\) è un parallelogramma.

Teorema (terzo segno di un parallelogramma)

Se le diagonali di un quadrilatero si intersecano e sono divise a metà dal punto di intersezione, allora questo quadrilatero è un parallelogramma.

Prova

Consideriamo un quadrilatero \(ABCD\) in cui le diagonali \(AC\) e \(BD\) si intersecano nel punto \(O\) e sono secate in due da questo punto.

I triangoli \(AOB\) e \(COD\) sono uguali secondo il primo segno di uguaglianza dei triangoli (\(AO = OC\), \(BO = OD\) per condizione, \(\angle AOB = \angle COD\) come angoli verticali), quindi \(AB = CD\) e \(\angle 1 = \angle 2\) . Dall'uguaglianza degli angoli \(1\) e \(2\) (intersecanti in \(AB\) e \(CD\) e secante \(AC\) ) segue che \(AB\parallelo CD \) .

Quindi nel quadrilatero \(ABCD\) i lati \(AB\) e \(CD\) sono uguali e paralleli, il che significa che secondo il primo criterio del parallelogramma, il quadrilatero \(ABCD\) è un parallelogramma .

Proprietà di un parallelogramma:

1. In un parallelogramma, i lati opposti sono uguali e gli angoli opposti sono uguali.

2. Le diagonali di un parallelogramma sono divise a metà dal punto di intersezione.

Proprietà della bisettrice di un parallelogramma:

1. La bisettrice di un parallelogramma taglia da esso un triangolo isoscele.

2. Le bisettrici degli angoli adiacenti di un parallelogramma si intersecano ad angoli retti.

3. I segmenti bisettoriali di angoli opposti sono uguali e paralleli.

Prova

1) Sia \(ABCD\) un parallelogramma, \(AE\) sia la bisettrice dell'angolo \(BAD\) .

Gli angoli \(1\) e \(2\) sono uguali e giacciono trasversalmente alle parallele \(AD\) e \(BC\) e alla secante \(AE\). Gli angoli \(1\) e \(3\) sono uguali, poiché \(AE\) è una bisettrice. Infine \(\angolo 3 = \angolo 1 = \angolo 2\), il che significa che il triangolo \(ABE\) è isoscele.

2) Sia \(ABCD\) un parallelogramma, \(AN\) e \(BM\) siano le bisettrici degli angoli \(BAD\) e \(ABC\), rispettivamente.

Poiché la somma degli angoli unilaterali per rette parallele e una trasversale è uguale a \(180^(\circ)\), allora \(\angolo DAB + \angolo ABC = 180^(\circ)\).

Poiché \(AN\) e \(BM\) sono bisettrici, allora \(\angle BAN + \angle ABM = 0.5(\angle DAB + \angle ABC) = 0.5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), Dove \(\angolo AOB = 180^\circ - (\angolo BAN + \angolo ABM) = 90^\circ\).

3. Siano \(AN\) e \(CM\) le bisettrici degli angoli del parallelogramma \(ABCD\) .

Poiché gli angoli opposti in un parallelogramma sono uguali, allora \(\angolo 2 = 0,5\cdot\angolo BAD = 0,5\cdot\angolo BCD = \angolo 1\). Inoltre gli angoli \(1\) e \(3\) sono uguali e giacciono trasversalmente alle parallele \(AD\) e \(BC\) e alla secante \(CM\), quindi \(\angolo 2 = \angle 3\) , il che implica che \(AN\parallel CM\) . Inoltre, \(AM\parallelo CN\) , allora \(ANCM\) è un parallelogramma, quindi \(AN = CM\) .