Začnite vo vede. Metóda matematickej indukcie a jej aplikácia na riešenie problémov Odrody metódy matematickej indukcie

Úvod

Hlavná časť

1. Úplná a neúplná indukcia

2. Princíp matematickej indukcie

3. Metóda matematickej indukcie

4. Riešenie príkladov

5. Rovnosť

6. Delenie čísel

7. Nerovnosti

Záver

Zoznam použitej literatúry

Úvod

Deduktívne a induktívne metódy sú základom každého matematického výskumu. Deduktívnou metódou uvažovania je uvažovanie od všeobecného k jednotlivému, t.j. uvažovanie, ktorého východiskom je všeobecný výsledok a konečným bodom je konkrétny výsledok. Indukcia sa uplatňuje pri prechode od konkrétnych výsledkov k všeobecným, t.j. je opakom deduktívnej metódy.

Metódu matematickej indukcie možno porovnať s pokrokom. Začíname od najnižšieho, v dôsledku logického myslenia sa dostávame k najvyššiemu. Človek sa vždy snažil o pokrok, o schopnosť logicky rozvíjať svoje myslenie, čo znamená, že samotná príroda mu predurčila myslieť induktívne.

Hoci sa oblasť použitia metódy matematickej indukcie rozrástla, v školských osnovách sa jej venuje málo času. No povedzte, že užitočného človeka privedú tie dve-tri lekcie, na ktoré si vypočuje päť slov teórie, vyrieši päť primitívnych problémov a v dôsledku toho dostane päťku za to, že nič nevie.

Ale toto je také dôležité – vedieť myslieť induktívne.

Hlavná časť

Vo svojom pôvodnom význame sa slovo „indukcia“ používa na uvažovanie, ktorým sa získavajú všeobecné závery založené na množstve konkrétnych tvrdení. Najjednoduchšou metódou uvažovania tohto druhu je úplná indukcia. Tu je príklad takéhoto uvažovania.

Nech je potrebné stanoviť, že každé prirodzené párne číslo n v rámci 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Týchto deväť rovníc ukazuje, že každé z čísel, ktoré nás zaujímajú, je skutočne reprezentované ako súčet dvoch prvočísel.

Úplnou indukciou teda je, že všeobecné tvrdenie je dokázané oddelene v každom z konečného počtu možných prípadov.

Niekedy možno všeobecný výsledok predpovedať po zvážení nie všetkých, ale skôr veľkého počtu špeciálnych prípadov (tzv. neúplná indukcia).

Výsledok získaný neúplnou indukciou však zostáva iba hypotézou, kým sa nepreukáže exaktným matematickým uvažovaním, pokrývajúcim všetky špeciálne prípady. Inými slovami, neúplná indukcia v matematike sa nepovažuje za legitímnu metódu rigorózneho dokazovania, ale je mocnou metódou na objavovanie nových právd.

Nech je napríklad potrebné nájsť súčet prvých n po sebe idúcich nepárnych čísel. Zvážte špeciálne prípady:

1+3+5+7+9=25=5 2

Po zvážení týchto niekoľkých špeciálnych prípadov sa navrhuje nasledujúci všeobecný záver:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

tie. súčet prvých n po sebe idúcich nepárnych čísel je n 2

Samozrejme, uskutočnené pozorovanie ešte nemôže slúžiť ako dôkaz platnosti vyššie uvedeného vzorca.

Úplná indukcia má v matematike len obmedzené aplikácie. Mnoho zaujímavých matematických tvrdení pokrýva nekonečný počet špeciálnych prípadov a my nemôžeme testovať nekonečný počet prípadov. Neúplná indukcia často vedie k chybným výsledkom.

V mnohých prípadoch je východiskom z tohto druhu ťažkostí uchýliť sa k špeciálnej metóde uvažovania, nazývanej metóda matematickej indukcie. Je to nasledovné.

Nech je potrebné dokázať platnosť určitého tvrdenia pre ľubovoľné prirodzené číslo n (napr. treba dokázať, že súčet prvých n nepárnych čísel sa rovná n 2). Priame overenie tohto tvrdenia pre každú hodnotu n nie je možné, pretože množina prirodzených čísel je nekonečná. Na dôkaz tohto tvrdenia najskôr skontrolujte jeho platnosť pre n=1. Potom je dokázané, že pre akúkoľvek prirodzenú hodnotu k, platnosť uvažovaného tvrdenia pre n=k implikuje jeho platnosť aj pre n=k+1.

Potom sa tvrdenie považuje za preukázané pre všetky n. Toto tvrdenie skutočne platí pre n=1. Potom však platí aj pre ďalšie číslo n=1+1=2. Platnosť tvrdenia pre n=2 implikuje jeho platnosť pre n=2+

1=3. To znamená platnosť tvrdenia pre n=4 atď. Je jasné, že nakoniec sa dostaneme k akémukoľvek prirodzenému číslu n. Preto tvrdenie platí pre každé n.

Zhrnutím toho, čo bolo povedané, sformulujeme nasledujúci všeobecný princíp.

Princíp matematickej indukcie.

Ak veta A(n) v závislosti od prirodzeného číslan, pravda pren=1 a z toho, že platí pren=k(Kdek-akékoľvek prirodzené číslo), z toho vyplýva, že platí aj pre nasledujúce číslon=k+1, potom predpoklad A(n) platí pre akékoľvek prirodzené číslon.

V mnohých prípadoch môže byť potrebné dokázať platnosť určitého tvrdenia nie pre všetky prirodzené čísla, ale iba pre n>p, kde p je pevné prirodzené číslo. V tomto prípade je princíp matematickej indukcie formulovaný nasledovne. Ak veta A(n) platí pren=pa ak A(k) Þ A(k+1)pre hocikohok>p,potom veta A(n)pravda pre kohokoľvekn>p.

Dôkaz metódou matematickej indukcie sa vykonáva nasledovne. Najprv sa skontroluje tvrdenie, ktoré sa má dokázať, na n=1, t.j. je potvrdená pravdivosť výroku A(1). Táto časť dôkazu sa nazýva indukčná báza. Potom nasleduje časť dôkazu nazývaná indukčný krok. V tejto časti je dokázaná platnosť tvrdenia pre n=k+1 za predpokladu, že tvrdenie platí pre n=k (induktívny predpoklad), t.j. dokázať, že A(k)ÞA(k+1).

PRÍKLAD 1

Dokážte, že 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Riešenie: 1) Máme n=1=1 2 . teda

tvrdenie je pravdivé pre n=1, t.j. A(1) je pravda.

2) Dokážme, že A(k)ÞA(k+1).

Nech k je ľubovoľné prirodzené číslo a výrok nech platí pre n=k, t.j.

1+3+5+…+(2k-1)=k2.

Dokážme, že potom tvrdenie platí aj pre ďalšie prirodzené číslo n=k+1, t.j. Čo

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2.

Naozaj,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2.

Takže A(k)ÞA(k+1). Na základe princípu matematickej indukcie sme dospeli k záveru, že predpoklad A(n) platí pre akékoľvek nОN.

PRÍKLAD 2

Dokáž to

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), kde x¹1

Riešenie: 1) Pre n=1 dostaneme

1+x=(x2-1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

preto pre n=1 platí vzorec; A(1) je pravda.

2) Nech k je ľubovoľné prirodzené číslo a vzorec nech platí pre n=k, t.j.

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

Dokážme, že potom tá rovnosť

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Naozaj

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(xk+1-1)/(x-1)+xk+1 =(xk+2-1)/(x-1).

Takže A(k)ÞA(k+1). Na základe princípu matematickej indukcie sme dospeli k záveru, že vzorec platí pre akékoľvek prirodzené číslo n.

PRÍKLAD 3

Dokážte, že počet uhlopriečok konvexného n-uholníka je n(n-3)/2.

Riešenie: 1) Pre n=3 je tvrdenie pravdivé

A 3 je správne, pretože v trojuholníku

 A 3 =3(3-3)/2=0 uhlopriečok;

A 2 A(3) je pravdivé.

2) Predpokladajme, že v akomkoľvek

konvexný k-uholník má-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 uhlopriečky.

A k Dokážme, že potom v konvexnom

(k+1)-gon číslo

uhlopriečky A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Nech А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -konvexný (k+1)-uhol. Narysujme do nej uhlopriečku A 1 A k. Na spočítanie celkového počtu uhlopriečok tohto (k + 1)-uholníka je potrebné spočítať počet uhlopriečok v k-uholníku A 1 A 2 ...A k , k výslednému číslu pripočítať k-2, t.j. treba brať do úvahy počet uhlopriečok (k+1)-uholníka vychádzajúceho z vrcholu A k+1 a navyše uhlopriečku A 1 A k.

teda

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Takže A(k)ÞA(k+1). Vzhľadom na princíp matematickej indukcie je tvrdenie pravdivé pre akýkoľvek konvexný n-uholník.

PRÍKLAD 4

Dokážte, že pre akékoľvek n je tvrdenie pravdivé:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Riešenie: 1) Nech n=1

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

Pre n=1 je teda tvrdenie pravdivé.

2) Predpokladajme, že n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) Uvažujme toto tvrdenie pre n=k+1

Xk+1 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k2+7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Dokázali sme platnosť rovnosti pre n=k+1, preto na základe metódy matematickej indukcie platí tvrdenie pre každé prirodzené n.

PRÍKLAD 5

Dokážte, že pre akékoľvek prirodzené n platí rovnosť:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Riešenie: 1) Nech n=1.

Potom X 1 = 1 3 = 1 2 (1+1) 2 /4 = 1.

Vidíme, že pre n=1 je tvrdenie pravdivé.

2) Predpokladajme, že rovnosť platí pre n=k


Jedna z najdôležitejších metód matematického dôkazu je správne metóda matematickej indukcie. Prevažnú väčšinu vzorcov týkajúcich sa všetkých prirodzených čísel n je možné dokázať matematickou indukciou (napríklad vzorec pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti, Newtonov binomický vzorec atď.).

V tomto článku sa najskôr zastavíme pri základných pojmoch, potom sa zamyslíme nad samotnou metódou matematickej indukcie a rozoberieme príklady jej aplikácie pri dokazovaní rovnosti a nerovností.

Navigácia na stránke.

Indukcia a odpočet.

indukciou nazval prechod od konkrétnych k všeobecným výrokom. Naopak, prechod od všeobecných tvrdení ku konkrétnym sa nazýva odpočet.

Príklad súkromného výpisu: 254 je bezo zvyšku deliteľné 2.

Z tohto konkrétneho tvrdenia sa dá sformulovať množstvo všeobecnejších tvrdení, pravdivých aj nepravdivých. Napríklad všeobecnejšie tvrdenie, že všetky celé čísla končiace na 4 sú bezo zvyšku deliteľné 2, je pravdivé, kým tvrdenie, že všetky trojciferné čísla sú bezo zvyšku deliteľné 2, je nepravdivé.

Indukcia teda umožňuje získať mnoho všeobecných tvrdení založených na známych alebo zjavných faktoch. A metóda matematickej indukcie je určená na určenie platnosti prijatých vyhlásení.

Ako príklad zvážte číselnú postupnosť: , n je ľubovoľné prirodzené číslo. Potom bude postupnosť súčtov prvých n prvkov tejto postupnosti nasledujúca

Na základe tejto skutočnosti možno indukciou tvrdiť, že .

Ponúkame dôkaz tohto vzorca.

Metóda matematickej indukcie.

Metóda matematickej indukcie je založená na princíp matematickej indukcie.

Spočíva v nasledujúcom: určité tvrdenie je pravdivé pre každé prirodzené n, ak

  1. platí pre n = 1 a
  2. z platnosti tvrdenia pre ľubovoľné prirodzené n = k vyplýva, že platí pre n = k+1 .

To znamená, že dôkaz metódou matematickej indukcie sa vykonáva v troch etapách:

  1. najprv sa skontroluje platnosť výroku pre ľubovoľné prirodzené číslo n (spravidla sa kontrola robí pre n = 1 );
  2. po druhé, platnosť tvrdenia sa predpokladá pre ľubovoľné prirodzené n=k ;
  3. po tretie, dokazuje sa platnosť tvrdenia pre číslo n=k+1, vychádzajúc z predpokladu druhého bodu.

Príklady dôkazov rovníc a nerovníc metódou matematickej indukcie.

Vráťme sa k predchádzajúcemu príkladu a dokážme vzorec .

Dôkaz.

Metóda matematickej indukcie zahŕňa trojbodový dôkaz.

Tým sú všetky tri kroky metódy matematickej indukcie ukončené a tým sa potvrdil náš predpoklad o vzorci.

Pozrime sa na trigonometrický problém.

Príklad.

Dokázať identitu .

Riešenie.

Najprv skontrolujeme rovnosť pre n = 1 . Na to potrebujeme základné vzorce trigonometrie.

To znamená, že rovnosť platí pre n = 1 .

Po druhé, predpokladajme, že rovnosť platí pre n = k , teda identitu

Po tretie, obrátime sa na dôkaz rovnosti pre n = k+1 na základe druhého bodu.

Keďže podľa vzorca z trigonometrie

To

Dôkaz rovnosti z tretieho bodu je ukončený, preto sa pôvodná identita dokazuje metódou matematickej indukcie.

Dá sa dokázať matematickou indukciou.

Príklad dôkazu nerovnosti matematickou indukciou nájdete v časti o metóde najmenších štvorcov pri odvodzovaní vzorcov na hľadanie aproximačných koeficientov.

Bibliografia.

  • Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. Na matematickej indukcii.

Metóda dôkazu, o ktorej bude reč v tejto časti, je založená na jednej z axióm prirodzeného radu.

Axióma indukcie. Nech je daná veta, ktorá závisí od premennej P, namiesto ktorých môžete nahradiť ľubovoľné prirodzené čísla. Označme to A(p). Nech aj veta A platí pre číslo 1 a z toho, že A pravda pre číslo Komu, nasleduje za tým A pravda pre číslo k+ 1. Potom ponúknite A platí pre všetky prírodné hodnoty P.

Symbolický zápis axiómy:

Tu vrchol- premenné nad množinou prirodzených čísel. Z axiómy indukcie sa získa nasledujúce inferenčné pravidlo:

Aby sme teda dokázali pravdivosť tvrdenia A, môžeme najskôr dokázať dve tvrdenia: pravdivosť tvrdenia A( 1), ako aj dôsledok A(k) => A(k+ 1).

Vzhľadom na vyššie uvedené popisujeme entitu metóda

matematická indukcia.

Nech je potrebné dokázať, že veta A(p) pravda pre všetko prirodzené P. Dôkaz je rozdelený do dvoch etáp.

  • 1. etapa. základ indukcie. Berieme ako hodnotu Pčíslo 1 a skontrolujte to A( 1) je pravdivé tvrdenie.
  • 2. etapa. Indukčný prechod. Dokážeme to pre akékoľvek prirodzené číslo Komu implikácia je pravdivá: ak A(k), To A(k+ 1).

Indukčná pasáž začína slovami: „Vezmite si ľubovoľné prirodzené číslo do, také že A(k)", alebo „Nech pre prirodzené číslo Komu správny A(k)“. Namiesto slova „nech“ často hovoria „predpokladajme, že ...“.

Po týchto slovách list Komu označuje nejaký pevný objekt, pre ktorý platí vzťah A(k). Prichádzajúce z A(k) vyvodzujeme dôsledky, čiže budujeme reťaz viet A(k) 9 R, pí, ..., Rn = A(k+ 1), kde každá veta R, je pravdivým tvrdením alebo dôsledkom predchádzajúcich viet. Posledná veta R" musí zodpovedať A(k+ 1). Z toho usudzujeme: od A(k) by mal A(k+).

Vykonanie indukčného prechodu možno rozdeliť do dvoch krokov:

  • 1) Indukčný predpoklad. Tu to predpokladáme A Komu premenlivý n.
  • 2) Na základe predpokladu to dokážeme A právo na číslo?+1.

Príklad 5.5.1. Dokážme, že číslo p+p je dokonca pre všetkých prirodzený P.

Tu A(p) = "n 2 + n- párne číslo". Je potrebné to dokázať A - identicky pravdivý predikát. Aplikujeme metódu matematickej indukcie.

základ indukcie. Vezmime si l=1. Nahradiť vo výraze P+//, dostávame n 2 + n= I 2 + 1 = 2 je párne číslo, to znamená, že /1(1) je pravdivé tvrdenie.

Poďme formulovať indukčná hypotéza A(k)= "Číslo na 2 + na - dokonca." Môžete povedať toto: „Vezmite si ľubovoľné prirodzené číslo Komu také že na 2 + na je párne číslo.

Z toho vyvodzujeme tvrdenie A(kA-)= "Číslo (k+ 1) 2 + (? + 1) - párne.

Podľa vlastností operácií vykonávame transformácie:

Prvý člen výsledného súčtu je párny podľa predpokladu, druhý je párny podľa definície (pretože má tvar 2 P). Súčet je teda párne číslo. Ponuka A(k+ 1) preukázané.

Metódou matematickej indukcie uzatvárame: vetu A(p) pravda pre všetko prirodzené P.

Samozrejme, nie je potrebné zakaždým zadávať notový zápis A(p). Naďalej sa však odporúča formulovať induktívny predpoklad a to, čo je potrebné z neho vyvodiť, v samostatnom riadku.

Všimnite si, že tvrdenie z príkladu 5.5.1 je možné dokázať bez použitia metódy matematickej indukcie. Na to stačí zvážiť dva prípady: kedy P dokonca a kedy P zvláštny.

Mnoho problémov deliteľnosti sa rieši matematickou indukciou. Pozrime sa na zložitejší príklad.

Príklad 5.5.2. Dokážme, že číslo 15 2u_| +1 je deliteľné 8 pre všetky prirodzené čísla P.

Bacha indukcia. Vezmime si /1=1. Máme: číslo 15 2|_| +1 = 15 + 1 = 16 je deliteľné 8.

, čo pre niektorých

prirodzené číslo Komučíslo 15 2 * '+1 je deliteľné 8.

Poďme dokázať aké je potom číslo A\u003d 15 2 (ZHN +1 je deliteľné 8.

Prevedieme číslo A:

Predpokladom je, že číslo 15 2A1 +1 je deliteľné 8, čo znamená, že celý prvý člen je deliteľný 8. Druhý člen 224=8-28 je tiež deliteľný číslom 8. A keďže rozdiel dvoch čísel, ktoré sú násobkami 8, je deliteľný 8. Indukčný krok je opodstatnený.

Na základe metódy matematickej indukcie usudzujeme, že pre všetky prirodzené Pčíslo 15 2 "-1 -*-1 je deliteľné 8.

Urobme niekoľko poznámok k riešenému problému.

Dokázané tvrdenie možno formulovať trochu inak: „Číslo 15“ „+1 je deliteľné 8 pre ľubovoľné nepárne prirodzené / a“.

Po druhé, z overeného všeobecného tvrdenia možno vyvodiť konkrétny záver, ktorého dôkaz možno uviesť ako samostatný problém: číslo 15 2015 +1 je deliteľné 8. Preto je niekedy užitočné problém zovšeobecniť označením konkrétnu hodnotu písmenom a potom aplikujte metódu matematickej indukcie.

V najvšeobecnejšom zmysle výraz "indukcia" znamená, že všeobecné závery sa robia na základe konkrétnych príkladov. Napríklad po zvážení niektorých príkladov súčtov párnych čísel 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38 sme dospeli k záveru, že súčet akýchkoľvek dvoch párne čísla sú párne čísla.

Vo všeobecnosti môže takáto indukcia viesť k nesprávnym záverom. Uveďme príklad takéhoto nesprávneho uvažovania.

Príklad 5.5.3. Zvážte číslo A= /r+n+41 pre prirodzené /?.

Poďme nájsť hodnoty A pre nejaké hodnoty P.

Nechaj n= Ja potom a = 43 je prvočíslo.

Nech /7=2. Potom A= 4+2+41 = 47 je prvočíslo.

Nech l=3. Potom A= 9+3+41 = 53 je prvočíslo.

Nech /7=4. Potom A= 16+4+41 = 61 je prvočíslo.

Berte ako hodnoty Pčísla nasledujú po štvorici, ako napríklad 5, 6, 7, a uistite sa, že číslo A bude jednoduché.

Dospeli sme k záveru: „Pre všetky prirodzené /? číslo A bude to jednoduché."

Výsledkom je nepravdivé tvrdenie. Tu je protipríklad: /7=41. Uistite sa, že s týmto Pčíslo A bude zložený.

Pojem „matematická indukcia“ má užší význam, pretože použitie tejto metódy vám umožňuje vždy dospieť k správnemu záveru.

Príklad 5.5.4. Na základe induktívneho uvažovania získame vzorec pre všeobecný člen aritmetickej postupnosti. Pripomeňme, že aritmetická profesia je číselná postupnosť, ktorej každý člen sa líši od predchádzajúceho o rovnaké číslo, nazývané progresívny rozdiel. Ak chcete jednoznačne určiť aritmetickú profesiu, musíte určiť jej prvého člena A a rozdiel d.

Takže podľa definície a p+ = a n + d, pri n> 1.

V školskom kurze matematiky sa vzorec všeobecného pojmu aritmetickej profesie spravidla stanovuje na základe konkrétnych príkladov, to znamená práve indukciou.

Ak /7=1, TAK S 7| = ja|, POTOM som| = tf|+df(l-1).

Ak /7=2, potom i 2 = a + d, to jest A= I|+*/(2-1).

Ak /7=3, potom i 3 = i 2 + = (a+d)+d = a+2d, t.j. i3 = i|+(3-1).

Ak /7=4, potom i 4 = i 3 +*/ = ( a+2d)+d\u003d R1 + 3 atď.

Uvedené konkrétne príklady nám umožňujú predložiť hypotézu: všeobecný výraz vzorec má tvar A" = a+(n-)d pre všetkých /7>1.

Dokážme tento vzorec metódou matematickej indukcie.

základná indukcia overené v predchádzajúcich diskusiách.

Nechaj Komu - také číslo, pri ktorom som * - a+(k-)d (indukčný predpoklad).

Poďme dokázaťže ja*+! = a+((k+)-)d, t.j. i*+1 = ax+kd.

Podľa definície i*+1 = ab + d. a to= i | + (do-1 )d, znamená, ac+\u003d i i + (A: -1) ^ / + c / \u003d i | +(A-1+1 )d= ja i +kd, ktoré bolo potrebné preukázať (na zdôvodnenie indukčného prechodu).

Teraz vzorec i„ = a+(n-)d dokázal pre ľubovoľné prirodzené číslo /;.

Nech je nejaká postupnosť i b i 2, i, „ ... (nie

nevyhnutne aritmetický alebo geometrický postup). Často sa vyskytujú problémy, pri ktorých je potrebné zhrnúť prvé Pčleny tejto postupnosti, to znamená určiť súčet R|+i 2 +...+i a vzorec, ktorý vám umožní nájsť hodnoty tohto súčtu bez výpočtu členov postupnosti.

Príklad 5.5.5. Dokážme, že súčet prvého P prirodzené čísla sú

/?(/7 + 1)

Súčet 1+2+...+/7 označ Sn. Poďme nájsť hodnoty S n pre niektoré /7.

Všimnite si, že na nájdenie súčtu S 4 môžete použiť hodnotu 5 3 vypočítanú skôr, pretože 5 4 = 5 3 +4.

n(n +1)

Ak nahradíme uvažované hodnoty /? v termíne --- niečo

dostaneme rovnaké súčty 1, 3, 6, 10. Tieto pozorovania

. _ n(n + 1)

naznačujú, že vzorec S„=--- možno použiť, keď

akýkoľvek //. Dokážme túto domnienku metódou matematickej indukcie.

základná indukcia overené. Poďme na to indukčný prechod.

Predpokladajmeže vzorec platí pre nejaké prirodzené číslo

, k(k + 1)

k, potom je sieť súčtom prvého Komu prirodzené čísla sú ----.

Poďme dokázaťže súčet prvých (?+1) prirodzených čísel sa rovná

  • (* + !)(* + 2)

Poďme sa vyjadriť?*+1 cez S k . Aby sme to dosiahli, v súčte S*+i zoskupíme prvé Komu výrazy a posledný výraz napíšte samostatne:

Podľa indukčnej hypotézy S k = Takže nájsť

súčet prvých (? + 1) prirodzených čísel postačuje k už vypočítanému

. „ k(k + 1) _ .. ..

súčet prvého Komučísla rovné ---, pridajte jeden člen (k + 1).

Indukčný prechod je opodstatnený. Hypotéza uvedená na začiatku je teda potvrdená.

Dokázali sme vzorec S n = metóda n ^ n+

matematická indukcia. Samozrejme, existujú aj iné dôkazy. Môžete napríklad napísať súčet S, vo vzostupnom poradí výrazov a potom v zostupnom poradí výrazov:

Súčet členov v jednom stĺpci je konštantný (v jednom súčte sa každý ďalší člen zníži o 1 a v druhom sa zvýši o 1) a rovná sa (/r + 1). Preto, keď zhrnieme výsledné sumy, máme P pojmy rovné (u+1). Takže dvojnásobné množstvo S „ rovná sa n(n+ 1).

Práve dokázaný vzorec možno získať ako špeciálny prípad vzorca pre súčet prvého Pčlenov aritmetického postupu.

Vráťme sa k metóde matematickej indukcie. Všimnite si, že prvá etapa metódy matematickej indukcie (základ indukcie) je vždy potrebná. Absencia tohto kroku môže viesť k nesprávnemu záveru.

Príklad 5.5.6. "Dokážme" vetu: "Číslo 7" + 1 je deliteľné 3 pre akékoľvek prirodzené číslo ".

„Predpokladajme, že pre nejakú prírodnú hodnotu Komučíslo 7*+1 je deliteľné 3. Dokážme, že číslo 7 x +1 je deliteľné 3. Vykonajte premeny:

Číslo 6 je samozrejme deliteľné 3. Číslo 1 až + je indukčnou hypotézou deliteľné 3, teda aj číslo 7-(7* + 1) je deliteľné 3. Preto bude 3 deliteľný aj rozdiel čísel deliteľných 3.

Návrh sa osvedčil."

Dôkaz pôvodného tvrdenia je nesprávny, napriek tomu, že induktívny krok je správny. Skutočne, na n= Mám číslo 8, s n=2 -číslo 50, ... a žiadne z týchto čísel nie je deliteľné 3.

Urobme dôležitú poznámku o zápise prirodzeného čísla pri vykonávaní indukčného prechodu. Pri formulovaní návrhu A(p) list P sme označili premennú, namiesto ktorej možno dosadiť ľubovoľné prirodzené čísla. Pri formulovaní induktívnej hypotézy sme hodnotu premennej označovali písmenom Komu. Veľmi často však namiesto nového listu Komu použite rovnaké písmeno ako premenná. To neovplyvňuje štruktúru uvažovania pri vykonávaní indukčného prechodu.

Uvažujme ešte niekoľko príkladov problémov, na ktoré možno použiť metódu matematickej indukcie.

Príklad 5.5.7. Nájdite hodnotu súčtu

Variabilné v úlohe P nejaví sa. Zvážte však postupnosť pojmov:

Označiť S, \u003d a + a 2 + ... + a „. Poďme nájsť S" pre niektoré P. Ak /1= 1, potom S, = a, =-.

Ak n= 2. potom S, = A, + A? = - + - = - = -.

Ak /?=3, potom S-, = a,+a 7+ i, = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

Hodnoty si môžete vypočítať sami S „ pri /7 = 4; 5. Vzniká

prirodzený odhad: S n= -- pre akékoľvek prírodné /7. Poďme dokázať

Deje sa tak matematickou indukciou.

základná indukcia skontrolované vyššie.

Poďme na to indukčný prechod, označujúci ľubovoľný

premenlivá hodnota P to isté písmeno, teda dokazujeme, že z rovnosti

0 /7 _ /7 +1

S n=-sleduje rovnosť S, =-.

/7+1 /7 + 2

Predpokladajmeže rovnosť je pravdivá S= - P -.

Rozdeľme celkom S„+ najprv P podmienky:

Aplikovaním indukčného predpokladu dostaneme:

Zmenšením zlomku o (/7+1) budeme mať rovnosť S n +1 -, L

Indukčný prechod je opodstatnený.

To dokazuje, že súčet prvého P podmienky

  • 1 1 1 /7 ^
  • - +-+...+- sa rovná -. Teraz sa vráťme k originálu
  • 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

úloha. Na vyriešenie stačí vziať ako hodnotu Pčíslo 99.

Potom sa súčet -!- + -!- + -!- + ...+ --- bude rovnať číslu 0,99.

1-2 2-3 3-4 99100

Skúste túto sumu vypočítať iným spôsobom.

Príklad 5.5.8. Dokážme, že derivácia súčtu ľubovoľného konečného počtu diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií.

Nechať premennú /? označuje počet daných vlastností. V prípade, že je daná iba jedna funkcia, je to táto funkcia, ktorá sa chápe ako súčet. Preto, ak /7=1, potom je výrok zjavne pravdivý: /" = /".

Predpokladajmeže výrok je pravdivý pre množinu P funkcie (tu opäť namiesto písm Komu prevzatý list P), teda derivát súčtu P funkcií sa rovná súčtu derivácií.

Poďme dokázaťže derivácia súčtu (n + 1) funkcií sa rovná súčtu derivácií. Vezmite ľubovoľnú sadu pozostávajúcu z n+ diferencovateľná funkcia: /1,/2, . Predstavme si súčet týchto funkcií

ako g+f„+ 1, kde g = f +/g + ... +/t- súčet P funkcie. Pri induktívnej hypotéze derivácia funkcie g sa rovná súčtu derivátov: g" = ft + ft + ... +ft. Preto platí nasledujúci reťazec rovnosti:

Indukčný prechod je dokončený.

Pôvodný výrok je teda dokázaný pre ľubovoľný konečný počet funkcií.

V niektorých prípadoch je potrebné preukázať pravdivosť tvrdenia A(p) pre všetky prirodzené i, počnúc od nejakej hodnoty s. Dôkaz matematickou indukciou sa v takýchto prípadoch vykonáva podľa nasledujúcej schémy.

základ indukcie. Dokazujeme, že návrh A pravda pre hodnotu P, rovný s.

Indukčný prechod. 1) Predpokladáme, že návrh A pravda pre určitú hodnotu Komu premenná /?, ktorá je väčšia alebo rovná s.

2) Dokážeme, že návrh A pravda pre /? sa rovná

Všimnite si opäť, že namiesto písmena Komučasto opúšťajú premenné označenie P. V tomto prípade sa indukčný prechod začína slovami: „Predpokladajme, že pre nejakú hodnotu n>s správny A(p). Tak to dokážme A(n+ 1)“.

Príklad 5.5.9. Dokážme, že pre všetko prirodzené n> 5 je nerovnosť 2” > a 2 pravdivá.

základ indukcie. Nechaj n= 5. Potom 2 5 = 32, 5 2 = 25. Nerovnosť 32>25 je pravdivá.

Indukčný prechod. Predpokladajmeže nerovnosť 2 P>n 2 pre nejaké prirodzené číslo n> 5. Poďme dokázať, čo je potom 2" +| > (n+1) 2 .

Podľa vlastností mocnín 2” +| = 2-2". Keďže 2" > n 2 (podľa indukčnej hypotézy), potom 2-2" > 2n 2 (I).

Zdôvodnime, že 2 p 2 väčší ako (i+1)2. Dá sa to urobiť mnohými spôsobmi. Stačí vyriešiť kvadratickú nerovnosť 2x 2 >(x+) 2 v množine reálnych čísel a vidieť, že všetky prirodzené čísla väčšie alebo rovné 5 sú jej riešenia.

Budeme postupovať nasledovne. Poďme nájsť rozdiel čísel 2 p 2 a (i+1) 2:

Od a > 5, potom i + 1 > 6, čo znamená (i + 1) 2 > 36. Rozdiel je teda väčší ako 0. Takže 2i 2 > (i + 1) 2 (2).

Podľa vlastností nerovností z (I) a (2) vyplýva, že 2*2" > (n + 1) 2, čo bolo potrebné na preukázanie odôvodnenia indukčného prechodu.

Na základe metódy matematickej indukcie usudzujeme, že nerovnosť 2" > i 2 platí pre akékoľvek prirodzené čísla i.

Zvážte inú formu metódy matematickej indukcie. Rozdiel je v indukčnom prechode. Na jeho implementáciu sú potrebné dva kroky:

  • 1) predpokladať, že ponuka A(p) pravdivé pre všetky hodnoty premennej i menšie ako nejaké číslo R;
  • 2) z predpokladu vyvodiť, že návrh A(p) pravda pre číslo R.

Indukčný krok teda vyžaduje dôkaz o následku: [(Ui?) A(n)] => A(p). Všimnite si, že dôsledok je možné prepísať takto: [(Yn^p) A(n)] => A(p+ 1).

V pôvodnej formulácii metódy matematickej indukcie pri dokazovaní výroku A(p) sme sa spoliehali len na "predchádzajúci" návrh A(p- 1). Formulácia tu uvedenej metódy umožňuje odvodenie A(p), za predpokladu, že všetky návrhy A(n), kde som menej R, sú pravdivé.

Príklad 5.5.10. Dokážme vetu: "Súčet vnútorných uhlov akéhokoľvek i-uholníka je 180°(i-2)".

Pre konvexný mnohouholník je teorém ľahko dokázateľný, ak je rozdelený uhlopriečkami nakreslenými z jedného vrcholu na trojuholníky. V prípade nekonvexného mnohouholníka však takýto postup nemusí byť možný.

Dokážme vetu pre ľubovoľný mnohouholník matematickou indukciou. Predpokladáme, že je známe nasledujúce tvrdenie, ktoré si, striktne povedané, vyžaduje samostatný dôkaz: "V každom //-gon je uhlopriečka, ktorá leží úplne v jeho vnútornej časti."

Namiesto premennej // môžete nahradiť akékoľvek prirodzené čísla, ktoré sú väčšie alebo rovné 3. For n=b Veta je pravdivá, pretože súčet uhlov v trojuholníku je 180°.

Vezmite si nejaký /7-gon (p> 4) a predpokladajme, že súčet uhlov ľubovoľného //-uholníka, kde // p, sa rovná 180°(//-2). Dokážme, že súčet uhlov //-uholníka sa rovná 180°(//-2).

Nakreslíme uhlopriečku //-uholník ležiaci v nej. Rozdelí //-uholník na dva polygóny. Nech má jeden z nich Komu strany, druhé do 2 strany. Potom k + k 2 -2 \u003d p, keďže výsledné mnohouholníky majú spoločnú bočnú nakreslenú uhlopriečku, ktorá nie je stranou pôvodného //-uholníka.

Obe čísla Komu A do 2 menej //. Aplikujme induktívny predpoklad na výsledné mnohouholníky: súčet uhlov A]-uholníka je 180°-(?i-2) a súčet uhlov? 2-uholník sa rovná 180 ° - (Ar 2 -2). Potom sa súčet uhlov //-uholníka bude rovnať súčtu týchto čísel:

180 °* (Ar | -2) -n 180 ° (Ar2-2) \u003d 180 o (Ar, -Ar2 -2-2) \u003d 180 ° - (//-2).

Indukčný prechod je opodstatnený. Na základe metódy matematickej indukcie je veta dokázaná pre ľubovoľný //-uholník (//>3).

Skutočné poznanie bolo vždy založené na vytvorení vzoru a dokázaní jeho pravdivosti za určitých okolností. Za také dlhé obdobie existencie logického uvažovania boli formulácie pravidiel dané a Aristoteles dokonca zostavil zoznam „správnych úvah“. Historicky je zvykom rozdeliť všetky inferencie na dva typy - od konkrétnych po množné číslo (indukcia) a naopak (odvod). Treba poznamenať, že typy dôkazov od konkrétneho k všeobecnému a od všeobecného k konkrétnemu existujú iba vo vzájomnej súvislosti a nemožno ich zamieňať.

Indukcia v matematike

Pojem "indukcia" (indukcia) má latinské korene a doslovne sa prekladá ako "vedenie". Pri podrobnom štúdiu je možné rozlíšiť štruktúru slova, a to latinskú predponu - in- (označuje smerované pôsobenie dovnútra alebo byť vnútri) a -dukciu - úvod. Stojí za zmienku, že existujú dva typy - úplná a neúplná indukcia. Plná forma je charakterizovaná závermi vyvodenými zo štúdia všetkých predmetov určitej triedy.

Neúplné - závery aplikované na všetky predmety triedy, ale urobené na základe štúdia len niektorých jednotiek.

Úplná matematická indukcia je záver založený na všeobecnom závere o celej triede akýchkoľvek objektov, ktoré sú funkčne spojené vzťahmi prirodzeného radu čísel na základe znalosti tohto funkčného spojenia. V tomto prípade proces dokazovania prebieha v troch fázach:

  • v prvom stupni sa dokazuje správnosť tvrdenia o matematickej indukcii. Príklad: f = 1, indukcia;
  • ďalšia fáza je založená na predpoklade, že pozícia platí pre všetky prirodzené čísla. To znamená, že f=h, toto je indukčný predpoklad;
  • v tretej etape sa dokazuje platnosť polohy pre číslo f=h+1 na základe správnosti polohy predchádzajúceho odseku - ide o indukčný prechod, alebo krok matematickej indukcie. Príkladom je tzv. ak padne prvá kosť v rade (základ), tak padnú všetky kosti v rade (prechod).

Ako zo žartu, tak aj vážne

Pre uľahčenie vnímania sú príklady riešení metódou matematickej indukcie odsudzované vo forme vtipných úloh. Toto je úloha Polite Queue:

  • Pravidlá správania zakazujú mužovi otočiť sa pred ženou (v takejto situácii ju pustia dopredu). Na základe tohto tvrdenia, ak je posledný v rade muž, potom všetci ostatní sú muži.

Pozoruhodným príkladom metódy matematickej indukcie je problém „Bezrozmerný let“:

  • Je potrebné preukázať, že sa do mikrobusu zmestí ľubovoľný počet osôb. Platí, že jedna osoba sa do transportu zmestí bez ťažkostí (základ). Ale nech je minibus akokoľvek plný, vždy sa doň zmestí 1 pasažier (indukčný schodík).

známe kruhy

Príklady riešenia úloh a rovníc matematickou indukciou sú celkom bežné. Ako ilustráciu tohto prístupu môžeme zvážiť nasledujúci problém.

Podmienka: h kruhy sú umiestnené na rovine. Je potrebné preukázať, že pri akomkoľvek usporiadaní obrazcov môže byť mapa nimi vytvorená správne vyfarbená dvoma farbami.

Riešenie: pre h=1 je pravdivosť tvrdenia zrejmá, preto bude dôkaz zostavený pre počet kruhov h+1.

Predpokladajme, že tvrdenie platí pre ľubovoľnú mapu a na rovine sú h + 1 kružnice. Odstránením jedného z kruhov z celkového počtu môžete získať mapu správne vyfarbenú dvoma farbami (čiernou a bielou).

Pri obnove vymazaného kruhu sa farba každej oblasti zmení na opačnú (v tomto prípade vnútri kruhu). Ukázalo sa, že mapa je správne vyfarbená v dvoch farbách, čo bolo potrebné preukázať.

Príklady s prirodzenými číslami

Aplikácia metódy matematickej indukcie je jasne znázornená nižšie.

Príklady riešení:

Dokážte, že pre každé h bude rovnosť správna:

1 2 + 2 2 + 3 2 +…+h2 = h(h+1)(2h+1)/6.

1. Nech h=1, potom:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

Z toho vyplýva, že pre h=1 je tvrdenie správne.

2. Za predpokladu, že h=d, dostaneme nasledujúcu rovnicu:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. Za predpokladu, že h=d+1, vyjde:

Rd+1 = (d+1) (d+2) (2d+3)/6

Rd+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 = (d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Dokázala sa teda platnosť rovnosti pre h=d+1, tvrdenie teda platí pre ľubovoľné prirodzené číslo, čo je v príklade riešenia znázornené matematickou indukciou.

Úloha

Podmienka: vyžaduje sa dôkaz, že pre akúkoľvek hodnotu h je výraz 7 h -1 deliteľný 6 bezo zvyšku.

Riešenie:

1. Povedzme, že h=1, v tomto prípade:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (t. j. delené 6 bez zvyšku)

Preto pre h=1 je tvrdenie pravdivé;

2. Nech h=d a 7 d -1 je deliteľné 6 bezo zvyšku;

3. Dôkazom platnosti tvrdenia pre h=d+1 je vzorec:

Rd +1 = 7 d +1 -1=7∙7d -7+6=7(7d -1)+6

V tomto prípade je prvý člen deliteľný 6 za predpokladu prvého odseku a druhý člen sa rovná 6. Tvrdenie, že 7 h -1 je deliteľné 6 bezo zvyšku pre akékoľvek prirodzené h, je pravdivé.

Chybný úsudok

Často sa pri dokazovaní používa nesprávna úvaha, a to z dôvodu nepresnosti použitých logických konštrukcií. V zásade sa to stane, keď je porušená štruktúra a logika dôkazu. Príkladom nesprávneho uvažovania je nasledujúci obrázok.

Úloha

Podmienka: vyžaduje dôkaz, že žiadna hromada kameňov nie je hromada.

Riešenie:

1. Povedzme h=1, v tomto prípade je v kope 1 kameň a tvrdenie je pravdivé (základ);

2. Nech pre h=d platí, že hromada kameňov nie je hromada (predpoklad);

3. Nech h=d+1, z čoho vyplýva, že keď sa pridá ešte jeden kameň, množina nebude kopa. Záver naznačuje, že predpoklad platí pre všetky prirodzené h.

Chyba spočíva v tom, že neexistuje žiadna definícia, koľko kameňov tvorí hromadu. Takéto vynechanie sa v metóde matematickej indukcie nazýva unáhlené zovšeobecnenie. Príklad to jasne ukazuje.

Indukcia a zákony logiky

Historicky vždy „chodia ruka v ruke“. Vedecké disciplíny ako logika, filozofia ich opisujú vo forme protikladov.

Z hľadiska zákona logiky sú induktívne definície založené na faktoch a pravdivosť premís nerozhoduje o správnosti výsledného tvrdenia. Závery sa často získavajú s istou mierou pravdepodobnosti a hodnovernosti, čo, samozrejme, treba overiť a potvrdiť dodatočným výskumom. Príkladom indukcie v logike by bolo vyhlásenie:

Sucho v Estónsku, sucho v Lotyšsku, sucho v Litve.

Estónsko, Lotyšsko a Litva sú pobaltské štáty. Sucho vo všetkých pobaltských štátoch.

Z príkladu môžeme usúdiť, že pomocou metódy indukcie nie je možné získať nové informácie alebo pravdu. Jediné, s čím sa dá počítať, je nejaká možná pravdivosť záverov. Navyše pravdivosť predpokladov nezaručuje rovnaké závery. Táto skutočnosť však neznamená, že indukcia vegetuje na dvore dedukcie: pomocou metódy indukcie je podložené obrovské množstvo ustanovení a vedeckých zákonov. Ako príklad môže poslúžiť matematika, biológia a iné vedy. Je to spôsobené najmä metódou úplnej indukcie, ale v niektorých prípadoch je použiteľná aj čiastočná.

Úctyhodný vek indukcie mu umožnil preniknúť takmer do všetkých sfér ľudskej činnosti - to je veda, ekonomika a každodenné závery.

Indukcia vo vedeckom prostredí

Metóda indukcie si vyžaduje dôsledný prístup, pretože príliš veľa závisí od počtu študovaných detailov celku: čím väčší je študovaný počet, tým je výsledok spoľahlivejší. Na základe tejto vlastnosti sú vedecké zákonitosti získané metódou indukcie dostatočne dlho testované na úrovni pravdepodobnostných predpokladov, aby sa izolovali a študovali všetky možné konštrukčné prvky, súvislosti a vplyvy.

Vo vede je induktívny záver založený na významných črtách, s výnimkou náhodných ustanovení. Tento fakt je dôležitý v súvislosti so špecifikami vedeckého poznania. To je jasne vidieť na príkladoch indukcie vo vede.

Vo vedeckom svete existujú dva typy indukcie (v súvislosti s metódou štúdia):

  1. indukcia-výber (alebo výber);
  2. indukcia - vylúčenie (eliminácia).

Prvý typ sa vyznačuje metodickým (kontrolným) vzorkovaním triedy (podtried) z jej rôznych oblastí.

Príklad tohto typu indukcie je nasledujúci: striebro (alebo strieborné soli) čistí vodu. Záver vychádza z dlhodobých pozorovaní (akýsi výber potvrdení a vyvrátení – výber).

Druhý typ indukcie je založený na záveroch, ktoré zakladajú kauzálne vzťahy a vylučujú okolnosti, ktoré nezodpovedajú jeho vlastnostiam, a to univerzálnosť, dodržanie časovej postupnosti, nevyhnutnosť a jednoznačnosť.

Indukcia a dedukcia z hľadiska filozofie

Ak sa pozriete na historickú retrospektívu, pojem „indukcia“ prvýkrát spomenul Sokrates. Aristoteles opísal príklady indukcie vo filozofii v približnejšom terminologickom slovníku, ale otázka neúplnej indukcie zostáva otvorená. Po prenasledovaní aristotelovského sylogizmu sa induktívna metóda začala uznávať ako plodná a v prírodných vedách jediná možná. Bacon je považovaný za otca indukcie ako samostatnej špeciálnej metódy, ale nepodarilo sa mu oddeliť, ako to jeho súčasníci požadovali, indukciu od deduktívnej metódy.

Ďalší vývoj indukcie uskutočnil J. Mill, ktorý uvažoval o indukčnej teórii z hľadiska štyroch hlavných metód: zhoda, rozdiel, zvyšky a zodpovedajúce zmeny. Nie je prekvapujúce, že dnes sú uvedené metódy pri podrobnom zvážení deduktívne.

Vedomie o nekonzistentnosti teórií Bacona a Milla viedlo vedcov k skúmaniu pravdepodobnostného základu indukcie. Avšak aj tu boli určité extrémy: boli urobené pokusy zredukovať indukciu na teóriu pravdepodobnosti so všetkými z toho vyplývajúcimi dôsledkami.

Indukcia získava dôveru v praktickú aplikáciu v určitých tematických oblastiach a vďaka metrickej presnosti indukčnej bázy. Za príklad indukcie a dedukcie vo filozofii možno považovať zákon univerzálnej gravitácie. V deň objavenia zákona ho Newton dokázal overiť s presnosťou 4 percent. A pri kontrole po viac ako dvesto rokoch bola správnosť potvrdená s presnosťou 0,0001 percenta, hoci kontrola bola vykonaná rovnakými induktívnymi zovšeobecneniami.

Moderná filozofia venuje väčšiu pozornosť dedukcii, ktorá je diktovaná logickou túžbou odvodiť nové poznanie (alebo pravdu) z už známeho, bez toho, aby sa uchýlila k skúsenostiam, intuícii, ale pomocou „čistého“ uvažovania. Pri odkaze na pravdivé premisy v deduktívnej metóde je vo všetkých prípadoch výstup pravdivé tvrdenie.

Táto veľmi dôležitá charakteristika by nemala zatieniť hodnotu indukčnej metódy. Keďže indukcia sa na základe dosiahnutých skúseností stáva aj prostriedkom jej spracovania (vrátane zovšeobecňovania a systematizácie).

Aplikácia indukcie v ekonómii

Indukcia a dedukcia sa už dlho používajú ako metódy štúdia ekonomiky a predpovedania jej vývoja.

Rozsah použitia indukčnej metódy je pomerne široký: štúdium plnenia prognózovaných ukazovateľov (zisk, odpisy atď.) a všeobecné hodnotenie stavu podniku; vytvorenie efektívnej politiky podpory podnikania založenej na faktoch a ich vzťahoch.

Rovnaký spôsob indukcie je použitý v Shewhartových diagramoch, kde sa za predpokladu, že procesy sú rozdelené na riadené a neriadené, uvádza, že rámec riadeného procesu je neaktívny.

Je potrebné poznamenať, že vedecké zákony sú odôvodnené a potvrdené pomocou metódy indukcie, a keďže ekonómia je veda, ktorá často využíva matematickú analýzu, teóriu rizík a štatistické údaje, nie je prekvapujúce, že indukcia je zahrnutá v zozname hlavných metód.

Nasledujúca situácia môže slúžiť ako príklad indukcie a dedukcie v ekonómii. Nárast cien potravín (zo spotrebného koša) a základných tovarov núti spotrebiteľa zamyslieť sa nad vznikajúcimi vysokými nákladmi v štáte (indukcia). Zároveň z faktu vysokej nákladovosti je možné pomocou matematických metód odvodiť ukazovatele rastu cien pre jednotlivé tovary alebo kategórie tovarov (odpočet).

Najčastejšie sa na indukčnú metódu obracajú riadiaci pracovníci, manažéri a ekonómovia. Aby bolo možné dostatočne pravdivo predvídať vývoj podniku, trhové správanie a dôsledky konkurencie, je potrebný induktívno-deduktívny prístup k analýze a spracovaniu informácií.

Názorný príklad indukcie v ekonómii s odkazom na mylné úsudky:

  • zisk spoločnosti klesol o 30 %;
    konkurent rozšíril svoj produktový rad;
    nič iné sa nezmenilo;
  • výrobná politika konkurenčnej spoločnosti spôsobila zníženie zisku o 30 %;
  • preto je potrebné zaviesť rovnakú výrobnú politiku.

Príklad je farebnou ilustráciou toho, ako nešikovné použitie metódy indukcie prispieva k krachu podniku.

Dedukcia a indukcia v psychológii

Keďže existuje metóda, potom logicky existuje aj správne organizované myslenie (na používanie metódy). Psychológia ako veda, ktorá študuje duševné procesy, ich formovanie, vývoj, vzťahy, interakcie, venuje pozornosť „deduktívnemu“ mysleniu ako jednej z foriem prejavu dedukcie a indukcie. Bohužiaľ, na stránkach psychológie na internete neexistuje prakticky žiadne opodstatnenie pre integritu deduktívno-induktívnej metódy. Profesionálni psychológovia sa síce častejšie stretávajú s prejavmi indukcie, či skôr s chybnými závermi.

Príkladom indukcie v psychológii ako ilustrácie chybných úsudkov je výrok: moja matka je podvodníčka, preto sú podvodníčky všetky ženy. Existujú ešte „chybnejšie“ príklady indukcie zo života:

  • študent nie je schopný ničoho, ak dostal dvojku z matematiky;
  • je to blázon;
  • je šikovný;
  • Môžem všetko;

A mnoho ďalších hodnotových súdov založených na absolútne náhodných a niekedy bezvýznamných správach.

Je potrebné poznamenať: keď klam úsudkov človeka dosiahne bod absurdity, pre psychoterapeuta sa objaví predná časť práce. Jeden príklad úvodu na stretnutie so špecialistom:

„Pacient si je absolútne istý, že červená farba pre neho v akýchkoľvek prejavoch predstavuje len nebezpečenstvo. V dôsledku toho človek vylúčil túto farebnú schému zo svojho života - v rámci možností. V domácom prostredí je veľa možností na pohodlné bývanie. Môžete odmietnuť všetky červené položky alebo ich nahradiť analógmi vyrobenými v inej farebnej schéme. Ale na verejných miestach, v práci, v obchode - to je nemožné. Keď sa pacient dostane do stresovej situácie, zakaždým zažije „príliv“ úplne iných emocionálnych stavov, ktoré môžu byť pre ostatných nebezpečné.

Tento príklad indukcie, a to nevedome, sa nazýva „fixné nápady“. Ak sa to stane duševne zdravému človeku, môžeme hovoriť o nedostatočnej organizácii duševnej činnosti. Elementárny rozvoj deduktívneho myslenia sa môže stať spôsobom, ako sa zbaviť obsedantných stavov. V iných prípadoch s takýmito pacientmi pracujú psychiatri.

Vyššie uvedené príklady indukcie naznačujú, že „neznalosť zákona neoslobodzuje od následkov (chybných úsudkov).“

Psychológovia pracujúci na téme deduktívneho myslenia zostavili zoznam odporúčaní, ktoré majú ľuďom pomôcť zvládnuť túto metódu.

Prvým krokom je riešenie problémov. Ako vidno, formu indukcie používanú v matematike možno považovať za „klasickú“ a použitie tejto metódy prispieva k „disciplíne“ mysle.

Ďalšou podmienkou rozvoja deduktívneho myslenia je rozširovanie obzorov (tí, ktorí myslia jasne, jasne uvádzajú). Toto odporúčanie smeruje „utrpenie“ do pokladníc vedy a informácií (knižnice, webové stránky, vzdelávacie iniciatívy, cestovanie atď.).

Samostatne treba spomenúť takzvanú „psychologickú indukciu“. Tento výraz, aj keď je zriedkavý, možno nájsť na internete. Všetky zdroje neuvádzajú aspoň stručnú definíciu tohto pojmu, ale odkazujú na „príklady zo života“, pričom ako nový typ indukcie uvádzajú buď sugesciu, niektoré formy duševných chorôb, alebo extrémne stavy ľudskej psychiky. Zo všetkého vyššie uvedeného je zrejmé, že pokus odvodiť „nový termín“ na základe falošných (často nepravdivých) premís odsudzuje experimentátora k chybnému (alebo unáhlenému) tvrdeniu.

Treba poznamenať, že odkaz na experimenty z roku 1960 (bez uvedenia miesta konania, mien experimentátorov, vzorky subjektov a hlavne účelu experimentu) vyzerá mierne povedané nepresvedčivo a tvrdenie že mozog vníma informácie obchádzajúce všetky orgány vnímania (výraz „skúsený“ by v tomto prípade zapadol organickejšie), núti človeka zamyslieť sa nad dôverčivosťou a nekritickosťou autora výroku.

Namiesto záveru

Kráľovná vied – matematika, nie nadarmo využíva všetky možné rezervy metódy indukcie a dedukcie. Uvažované príklady nám umožňujú dospieť k záveru, že povrchné a nešikovné (ako sa hovorí bezmyšlienkovito) aplikácia aj tých najpresnejších a najspoľahlivejších metód vždy vedie k chybným výsledkom.

V masovom vedomí sa metóda dedukcie spája so slávnym Sherlockom Holmesom, ktorý vo svojich logických konštrukciách často využíva príklady indukcie, pričom v nevyhnutných situáciách využíva dedukciu.

Článok sa zaoberal príkladmi aplikácie týchto metód v rôznych vedách a sférach ľudského života.

Ministerstvo školstva Saratovského regiónu

Štátna sociálno-ekonomická univerzita v Saratove

Krajská súťaž matematických a počítačových prác školákov

"Vektor budúcnosti - 2007"

„Metóda matematickej indukcie.

Jeho aplikácia na riešenie algebraických problémov"

(sekcia "matematika")

tvorivá práca

10 žiakov „A“ triedy

MOU "Gymnázium č. 1"

Oktyabrsky okres Saratov

Harutyunyan Gayane.

Vedúci práce:

učiteľ matematiky

Grishina Irina Vladimirovna

Saratov

2007

Úvod ……………………………………………………………………………………………… 3

Princíp matematickej indukcie a jeho

dôkaz ……………………………………………………………………………….. 4

Príklady riešenia problémov………………………………………………………………………..9

Záver……………………………………………………………………………………….. 16

Literatúra……………………………………………………………………………………………… 17

Úvod.

Metódu matematickej indukcie možno porovnať s pokrokom. Začíname od najnižšieho, v dôsledku logického myslenia sa dostávame k najvyššiemu. Človek sa vždy snažil o pokrok, o schopnosť logicky rozvíjať svoje myslenie, čo znamená, že samotná príroda ho predurčila myslieť induktívne a posilňovať svoje myslenie dôkazmi vykonávanými podľa všetkých pravidiel logiky.
V súčasnosti sa oblasť použitia metódy matematickej indukcie rozrástla, no v školských osnovách sa jej, žiaľ, venuje málo času. Ale toto je také dôležité – vedieť myslieť induktívne.

Princíp matematickej indukcie a jej dôkaz

Vráťme sa k podstate metódy matematickej indukcie. Uvažujme o rôznych vyhláseniach. Dajú sa rozdeliť na všeobecné a konkrétne.Uveďme príklady všeobecných tvrdení.

Všetci občania Ruska majú právo na vzdelanie.

V každom rovnobežníku sú uhlopriečky v priesečníku rozdelené na polovicu.

Všetky čísla končiace nulou sú deliteľné 5.

Relevantné príklady súkromných vyhlásení:

Petrov má právo na vzdelanie.

V rovnobežníku ABCD sú uhlopriečky v priesečníku rozdelené na polovicu.

140 je deliteľné 5.

Prechod od všeobecných tvrdení ku konkrétnym sa nazýva dedukcia (z lat odpočet - záver podľa pravidiel logiky).

Uvažujme o príklade deduktívnej dedukcie.

Všetci občania Ruska majú právo na vzdelanie. (1)

Petrov je občanom Ruska. (2)

Petrov má právo na vzdelanie. (3)

Zo všeobecného tvrdenia (1) sa pomocou (2) získa konkrétne tvrdenie (3).

Obrátený prechod od konkrétnych výrokov k všeobecným výrokom sa nazýva indukcia (z lat indukcia - vedenie).

Indukcia môže viesť k správnym aj nesprávnym záverom.

Vysvetlime si to na dvoch príkladoch.

140 je deliteľné 5. (1)

Všetky čísla končiace nulou sú deliteľné 5. (2)

140 je deliteľné 5. (1)

Všetky trojciferné čísla sú deliteľné 5. (2)

Z konkrétneho výroku (1) sa získa všeobecný výrok (2). Vyhlásenie (2) je pravdivé.

Druhý príklad ukazuje, ako je možné získať všeobecný výrok (3) z konkrétneho výroku (1), navyše výrok (3) nie je pravdivý.

Položme si otázku, ako využiť indukciu v matematike, aby sme získali len správne závery. Zoberme si niekoľko príkladov indukcie, ktorá je v matematike neprijateľná.

Príklad 1.

Uvažujme štvorcovú trojčlenku nasledujúceho tvaru Р(x)= x 2 + x + 41, ktorej venoval pozornosť Leonard Euler.

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, P(8) = 113, P(9) = 131, P(10) = 151.

Vidíme, že zakaždým, keď je hodnota trojčlenky prvočíslo. Na základe získaných výsledkov tvrdíme, že pri dosadzovaní do uvažovaného trojčlenu namiesto x Akékoľvek nezáporné celé číslo má vždy za následok prvočíslo.

Vyvodený záver však nemožno považovať za spoľahlivý. Čo sa deje? Faktom je, že v odôvodnení sa všeobecné tvrdenia o akomkoľvek x uvádzajú iba na základe toho, že sa toto tvrdenie ukázalo ako pravdivé pre niektoré hodnoty x.

Pri bližšom skúmaní trinomu P(x) sú čísla P(0), P(1), ..., P(39) prvočísla, ale P(40) = 41 2 je zložené číslo. A celkom jasne: P(41) = 41 2 +41+41 je násobok 41.

V tomto príklade sme sa stretli s tvrdením, ktoré je pravdivé v 40 špeciálnych prípadoch a napriek tomu sa vo všeobecnosti ukázalo ako nespravodlivé.

Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.

Príklad 2

V 17. storočí V.G. Leibniz dokázal, že pre každé prirodzené n sú čísla tvaru n 3 - n násobky 3, n 5 - n sú násobky 5, n 7 - n sú násobky 7. Na základe toho navrhol, že pre ľubovoľné nepárne k a prirodzené n, číslo n k - n násobok k, ale čoskoro si sám všimol, že 2 9 -2 = 510, čo, samozrejme, nie je deliteľné 9.

Uvažované príklady nám umožňujú vyvodiť dôležitý záver: vyhlásenie môže byť pravdivé v mnohých špeciálnych prípadoch a zároveň nespravodlivé vo všeobecnosti.

Prirodzene vyvstáva otázka: existuje tvrdenie, ktoré je pravdivé v niekoľkých špeciálnych prípadoch; nie je možné zvážiť všetky špeciálne prípady; ako vieš, či je toto tvrdenie vôbec pravdivé?

Túto otázku možno niekedy vyriešiť použitím špeciálnej metódy uvažovania nazývanej metóda matematickej indukcie. Táto metóda je založená na princíp matematickej indukcie, uzavretá takto: výrok je pravdivý pre každé prirodzené n, ak:

    platí pre n = 1;

    z platnosti tvrdenia pre nejaké ľubovoľné prirodzené n =k vyplýva, že platí pre n = k +1.

Dôkaz.

Predpokladajme opak, teda nech platí tvrdenie nie pre každé prirodzené n. Potom existuje prirodzené číslo m také, že

    tvrdenie pre n = m nie je pravdivé,

    pre všetky n

Je zrejmé, že m >1, keďže tvrdenie platí pre n =1 (podmienka 1). Preto je m -1 prirodzené číslo. Pre prirodzené číslo m -1 je tvrdenie pravdivé, ale pre ďalšie prirodzené číslo m neplatí. To je v rozpore s podmienkou 2. Výsledný rozpor ukazuje, že predpoklad je nesprávny. Preto tvrdenie platí pre akékoľvek prirodzené n, h.e.d.

Dôkaz založený na princípe matematickej indukcie sa nazýva dôkaz metódou matematickej indukcie. Takýto dôkaz by mal pozostávať z dvoch častí, z dôkazu dvoch nezávislých viet.

Veta 1. Výrok platí pre n = 1.

Veta 2. Výrok platí pre n =k +1, ak platí pre n=k, kde k je ľubovoľné prirodzené číslo.

Ak sú obe tieto vety dokázané, potom na základe princípu matematickej indukcie platí tvrdenie pre všetky
prirodzené n .

Treba zdôrazniť, že dôkaz matematickou indukciou si určite vyžaduje dôkaz oboch viet 1 a 2. Zanedbanie vety 2 vedie k nesprávnym záverom (príklady 1-2). Ukážme si na príklade, aký potrebný je dôkaz 1. vety.

Príklad 3. „Veta“: každé prirodzené číslo sa rovná prirodzenému číslu, ktoré za ním nasleduje.

Dôkaz bude vykonaný metódou matematickej indukcie.

Predpokladajme, že k = k +1 (1).

Dokážme, že k +1=k +2 (2). Ak to chcete urobiť, pridajte ku každej časti „rovnosti“ (1) 1. Dostaneme „rovnosť“ (2). Ukazuje sa, že ak je tvrdenie pravdivé pre n =k , potom platí aj pre n =k +1. atď.

Zrejmý „dôsledok“ z „vety“: všetky prirodzené čísla sú rovnaké.

Chyba spočíva v tom, že veta 1, ktorá je potrebná na uplatnenie princípu matematickej indukcie, nebola dokázaná a nie je pravdivá, ale bola dokázaná iba druhá veta.

Obzvlášť dôležité sú vety 1 a 2.

Veta 1 vytvára základ pre indukciu. Veta 2 dáva právo na neobmedzené automatické rozširovanie tejto základne, právo prejsť z tohto konkrétneho prípadu do ďalšieho, z n na n + 1.

Ak veta 1 nebola dokázaná, ale veta 2 bola dokázaná, potom základ pre indukciu nebol vytvorený a potom nemá zmysel aplikovať vetu 2, pretože v skutočnosti nie je čo rozširovať.

Ak veta 2 nebola dokázaná a bola dokázaná iba veta 1, potom, hoci bol vytvorený základ na vedenie indukcie, chýba právo na rozšírenie tohto základu.

Poznámky.

    Niekedy je druhá časť dôkazu založená na platnosti tvrdenia nielen pre n =k, ale aj pre n =k -1. V tomto prípade musí byť výrok v prvej časti testovaný na ďalšie dve hodnoty n .

    Niekedy sa tvrdenie dokazuje nie pre akékoľvek prirodzené n , ale pre n > m , kde m je nejaké celé číslo. V tomto prípade je v prvej časti dôkazu tvrdenie overené pre n = m +1, a ak je to potrebné, pre niekoľko nasledujúcich hodnôt n.

Ak zhrnieme, čo bolo povedané, máme: metóda matematickej indukcie umožňuje pri hľadaní všeobecného zákona testovať hypotézy, ktoré v tomto prípade vyvstanú, zahodiť nepravdivé a tvrdiť pravdivé.

Každý pozná úlohu procesov zovšeobecňovania výsledkov jednotlivých pozorovaní a experimentov (teda indukcie) pre empirické, experimentálne vedy. Na druhej strane matematika bola dlho považovaná za klasický príklad implementácie čisto deduktívnych metód, pretože sa vždy explicitne alebo implicitne predpokladá, že všetky matematické výroky (okrem tých, ktoré sú akceptované ako počiatočné - axiómy) sú dokázané a konkrétne aplikácie z týchto tvrdení sú odvodené z dôkazov vhodných pre všeobecné prípady (dedukcia).

Čo znamená indukcia v matematike? Treba to chápať ako nie celkom spoľahlivú metódu a ako hľadať kritérium spoľahlivosti takýchto indukčných metód? Alebo istota matematických záverov rovnakého charakteru ako experimentálne zovšeobecnenia experimentálnych vied, takže by nebolo zlé „overiť“ akýkoľvek dokázaný fakt? V skutočnosti to tak nie je.

Indukcia (vedenie) na hypotézu hrá v matematike veľmi dôležitú, ale čisto heuristickú úlohu: umožňuje uhádnuť, aké by malo byť riešenie. Ale matematické tvrdenia sú stanovené iba deduktívne. A metóda matematickej indukcie je čisto deduktívna metóda dôkazu. Dôkaz vykonaný touto metódou sa v skutočnosti skladá z dvoch častí:

    takzvaný "základ" - deduktívny dôkaz požadovanej vety pre jedno (alebo niekoľko) prirodzených čísel;

    induktívny krok spočívajúci v deduktívnom dôkaze všeobecného tvrdenia. Veta je presne dokázaná pre všetky prirodzené čísla. Zo základu dokázaného napríklad pre číslo 0 dostaneme indukčným krokom dôkaz pre číslo 1, potom rovnakým spôsobom pre 2, pre 3 ... - a tak možno tvrdenie odôvodniť pre akékoľvek prirodzené číslo.

Inými slovami, názov „matematická indukcia“ je spôsobený tým, že táto metóda je v našich mysliach jednoducho spojená s tradičným induktívnym uvažovaním (koniec koncov, základ je skutočne dokázaný len pre konkrétny prípad); induktívny krok, na rozdiel od kritérií vierohodnosti induktívneho uvažovania založených na skúsenostiach v prírodných a spoločenských vedách, je všeobecným tvrdením, ktoré nepotrebuje žiadny konkrétny predpoklad a je dokázané podľa prísnych kánonov deduktívneho uvažovania. Preto sa matematická indukcia nazýva „úplná“ alebo „dokonalá“, keďže ide o deduktívnu, úplne spoľahlivú metódu dôkazu.

Príklady riešenia problémov

Indukcia v algebre

Zvážte niekoľko príkladov algebraických problémov, ako aj dôkaz rôznych nerovností, ktoré možno vyriešiť pomocou metódy matematickej indukcie.

Úloha 1. Uhádnite vzorec pre súčet a dokážte ho.

A( n)= 2 1 2 + 3 2 2 + …..+(n +1) n 2 .

Riešenie.

1. Transformujme výraz pre súčet А(n):

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + …. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = В(n) + C(n), kde B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3, C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2 .

2. Uvažujme súčty C (n) a B (n).

a) C( n) = 12 + 22 +...+ n2. Jedným z často sa vyskytujúcich problémov metódy matematickej indukcie je dokázať, že pre akékoľvek prirodzené n je rovnosť

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

Predpokladajme, že (1) platí pre všetky n N.

b ) B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n3. Pozrime sa, ako sa hodnoty B (n) menia v závislosti od n.

B(1) = 13 = 1.

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 13 + 23 + 33 = 36 =

Dá sa teda predpokladať, že
B (n) = (1 + 2 + .... + n)2 =
(2)

c) Výsledkom je, že pre súčet А(n) dostaneme

A( n) ==

= (*)

3. Dokážme získaný vzorec (*) metódou matematickej indukcie.

a) skontrolujte rovnosť (*) pre n = 1.

A(1) = 2 =2,

Je zrejmé, že vzorec (*) platí pre n = 1.

b) predpokladajme, že vzorec (*) platí pre n=k , kde k N, teda rovnosť

A(k)=

Na základe predpokladu dokážeme platnosť vzorca pre n =k +1. naozaj,

A(k+1)=

Keďže vzorec (*) platí pre n =1 a z predpokladu, že platí pre nejaké prirodzené k , vyplýva, že platí pre n =k +1, na základe princípu matematickej indukcie sme dospeli k záveru, že rovnosť


platí pre akékoľvek prirodzené n .

Úloha 2.

Vypočítajte súčet 1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n .

Riešenie.

    Zapíšme si postupne hodnoty súčtov pre rôzne hodnoty n.

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.

Pozorovaním vzoru môžeme predpokladať, že A (n)= - pre párne n a A (n)=
za nepárne n. Skombinujme oba výsledky do jedného vzorca:

A(n) =
, kde r je zvyšok po delení n 2.

A r , je samozrejme určené nasledujúcim pravidlom

0 ak n je párne,

r=

1 ak n je nepárne.

Potom r(dá sa uhádnuť) môže byť reprezentované ako:

Nakoniec dostaneme vzorec pre A (n):

A(n)=

(*)

Dokážme rovnosť (*) pre všetky n N metóda matematickej indukcie.

2. a) Skontrolujte rovnosť (*) pre n =1. A(1) = 1=

Rovnosť je spravodlivá

b) Predpokladajme, že rovnosť

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

pravda pri n=k. Dokážme, že platí aj pre n =k + 1, t.j.

A(k+1)=

Naozaj,

A(k+1)=A(k)+(-1) k(k+1)=

=

Q.E.D.

Metóda matematickej indukcie sa používa aj pri riešení úloh deliteľnosti.

Úloha 3.

Dokážte, že číslo N (n)=n 3 + 5n je deliteľné 6 pre ľubovoľné prirodzené n.

Dôkaz.

    O n = 1 číslo N (1) = 6 a teda tvrdenie je pravdivé.

    Nech je číslo N (k )=k 3 +5k pre nejaké prirodzené k deliteľné číslom 6. Dokážme, že N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) je deliteľné číslom 6. Naozaj, máme
    N(k+1)= (k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k (k+1)+6.

Pretože k a k +1 sú susedné prirodzené čísla, potom je jedno z nich nevyhnutne párne, takže výraz 3k (k +1) je deliteľný 6. Dostaneme teda, že N (k +1) je deliteľné aj 6. Výstup číslo N (n)=n 3 + 5n je deliteľné 6 pre ľubovoľné prirodzené n.

Zvážte riešenie zložitejšej úlohy deliteľnosti, keď je potrebné niekoľkokrát použiť metódu úplnej matematickej indukcie.

Úloha 4.

Dokážte, že pre akékoľvek prirodzené n číslo
nie je deliteľné ani 2 n +3 .

Dôkaz.


Predstavte si
vo forme diela
=

= (*)

Za predpokladu, že prvý faktor v (*) nie je rovnomerne deliteľný číslom 2 k +3 , teda v zobrazení zloženého čísla
vo forme súčinu prvočísel sa číslo 2 opakuje najviac (k + 2) krát. Takže dokázať, že číslo
nie je deliteľné 2 k +4 , musíme to dokázať
nie je deliteľné 4.

Na dôkaz tohto tvrdenia dokážeme pomocné tvrdenie: pre žiadne prirodzené n nie je číslo 3 2 n +1 deliteľné 4. Pre n =1 je tvrdenie zrejmé, keďže 10 nie je bezo zvyšku deliteľné 4. Za predpokladu, že 3 2 k +1 nie je deliteľné 4, dokážeme, že ani 3 2(k +1) +1 nie je deliteľné
o 4. Predstavme posledný výraz ako súčet:

32(k+1) +1=3 2k+2+1=3 2k*9+1=(32k+1)+8*32k. Druhý člen súčtu je deliteľný 4, ale prvý nie je deliteľný. Preto celý súčet nie je bezo zvyšku deliteľný 4. Pomocné tvrdenie je dokázané.

Teraz je to už jasné
nie je deliteľné 4, pretože 2k je párne číslo.

Nakoniec dostaneme to číslo
nie je rovnomerne deliteľné 2 n + 3 pre žiadne prirodzené n .

Uvažujme teraz o príklade použitia indukcie pri dôkaze nerovností.

Úloha 5.

Pre ktoré prirodzené n platí nerovnosť 2 n > 2n + 1?

Riešenie.

1. Kedy n=121< 2*1+1,

pri n = 2 2 2< 2*2+1,

pri n = 3 2 3 > 2*3+1,

pri n = 424 > 2*4+1.

Zdá sa, že nerovnosť platí pre akékoľvek prirodzené n 3. Dokážme toto tvrdenie.

2. Kedy n = 3 platnosť nerovnosti sa už ukázala. Teraz nech platí nerovnosť pre n =k , kde k je nejaké prirodzené číslo nie menšie ako 3, t.j.

2 k > 2k+1 (*)

Dokážme, že potom nerovnosť platí aj pre n =k +1, teda 2 k +1 >2(k +1)+1. Vynásobením (*) 2 dostaneme 2k +1 >4k +2. Porovnajme výrazy 2(k +1)+1 a 4k +2.

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. Je zrejmé, že 2k -1>0 pre akékoľvek prirodzené k . Potom 4k +2>2(k +1)+1, t.j. 2k+1 >2(k+1)+1. Tvrdenie bolo dokázané.

Úloha 6.

Nerovnosť pre aritmetický priemer a geometrický priemer n nezáporných čísel (Cauchyho nerovnosť)., dostaneme =

Ak aspoň jedno z čísel
sa rovná nule, potom platí aj nerovnosť (**).

Záver.

Pri práci som študoval podstatu metódy matematickej indukcie a jej dôkaz. V príspevku sú prezentované problémy, v ktorých dôležitú úlohu zohrala neúplná indukcia vedúca k správnemu riešeniu a následne je vykonaný dôkaz získaný metódou matematickej indukcie.

Literatúra.

    Boltyansky V.G., Sidorov Yu.V., Shaburin M.I. Prednášky a úlohy v elementárnej matematike; Veda, 1974.

    Vilenkin N.Ya. , Shvartburd S.I. Matematická analýza.-
    M.: Vzdelávanie, 1973.

    Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hĺbkové štúdium kurzu algebry a matematickej analýzy - M .: Education, 1990.

    Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Algebra a analýza elementárnych funkcií.- M.: Nauka, 1980.

    Sominsky I.S., Golovina M.L., Yaglom I.M. O matematickej indukcii - M.: Nauka, 1967.