মুহূর্তের পদ্ধতিতাত্ত্বিক বণ্টনের মুহূর্তগুলিকে অভিজ্ঞতামূলক বন্টনের মুহুর্তের সাথে সমান করে (পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে বন্টন)। প্রাপ্ত সমীকরণ থেকে, বিতরণ পরামিতিগুলির অনুমান পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, দুটি পরামিতি সহ একটি বন্টনের জন্য, প্রথম দুটি মুহূর্ত (বন্টনের গড় এবং প্রকরণ, যথাক্রমে, m এবং s) প্রথম দুটি অভিজ্ঞতামূলক (নমুনা) মুহূর্তের (নমুনার গড় এবং প্রকরণ, যথাক্রমে) সমান সেট করা হবে ), এবং তারপর অনুমান করা হবে।

যেখানে A হল সর্বাধিক ফ্রিকোয়েন্সি (সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি সহ ব্যবধানের মাঝখানে) ভেরিয়েন্টের সমান শর্তসাপেক্ষ শূন্য, h হল ব্যবধান ধাপ,

সার্ভিস অ্যাসাইনমেন্ট. অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে, মুহুর্তের পদ্ধতি ব্যবহার করে গড় মান গণনা করা হয়। সিদ্ধান্তের ফলাফল Word বিন্যাসে আঁকা হয়.

নির্দেশ. একটি সমাধান পেতে, আপনাকে অবশ্যই প্রাথমিক ডেটা পূরণ করতে হবে এবং ওয়ার্ডে ফর্ম্যাট করার জন্য প্রতিবেদনের বিকল্পগুলি নির্বাচন করতে হবে।

মুহুর্তের পদ্ধতি দ্বারা গড় খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম

উদাহরণ। একটি সমজাতীয় প্রযুক্তিগত ক্রিয়াকলাপের জন্য কাজের সময়ের ব্যয়গুলি নিম্নরূপ শ্রমিকদের মধ্যে বিতরণ করা হয়েছিল:

কাজের সময়ের ব্যয়ের গড় মান এবং মুহুর্তের পদ্ধতি দ্বারা মানক বিচ্যুতি নির্ধারণ করা প্রয়োজন; প্রকরণের সহগ; মোড এবং মধ্যমা।
সূচক গণনার জন্য টেবিল।

গোষ্ঠী	মধ্যবর্তী ব্যবধান, x i	পরিমাণ, fi	x i f i	ক্রমবর্ধমান ফ্রিকোয়েন্সি, এস	(x-x ) 2 চ
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

ফ্যাশন

যেখানে x 0 হল মোডাল ব্যবধানের শুরু; h হল ব্যবধানের মান; f 2 - মোডাল ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত ফ্রিকোয়েন্সি; f 1 - প্রিমোডাল ফ্রিকোয়েন্সি; f 3 - পোস্টমোডাল ফ্রিকোয়েন্সি।
আমরা ব্যবধানের শুরুতে 20 বেছে নিই, যেহেতু এই ব্যবধানটিই সবচেয়ে বড় সংখ্যার জন্য দায়ী।

সিরিজের সবচেয়ে সাধারণ মান হল 22.78 মিনিট।
মধ্যমা
মধ্যমা হল ব্যবধান 20 - 25, কারণ এই ব্যবধানে, জমে থাকা ফ্রিকোয়েন্সি S মধ্যমা সংখ্যার চেয়ে বেশি (প্রথম ব্যবধানকে মধ্যমা বলা হয়, জমা হওয়া ফ্রিকোয়েন্সি S যার মোট ফ্রিকোয়েন্সির অর্ধেক ছাড়িয়ে যায়)।

এইভাবে, জনসংখ্যার 50% ইউনিট 23 মিনিটের কম হবে।
.



আমরা খুঁজে পাই A = 22.5, ব্যবধান ধাপ h = 5।
মুহুর্তের পদ্ধতি দ্বারা বর্গক্ষেত্রের বিচ্যুতিকে বোঝায়.

x গ	একাদশ	x * i f i	2 চ i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

মিনিট

আদর্শ চ্যুতি.
মিনিট
প্রকরণের সহগ- জনসংখ্যার মানগুলির আপেক্ষিক বিস্তারের একটি পরিমাপ: দেখায় যে এই পরিমাণের গড় মানের কত অনুপাত তার গড় বিস্তার।

কারণ v>30% কিন্তু v<70%, то вариация умеренная.

উদাহরণ

বিতরণ সিরিজের মূল্যায়ন করতে, আমরা নিম্নলিখিত সূচকগুলি খুঁজে পাই:

ওজনযুক্ত গড়

মুহুর্তের পদ্ধতি দ্বারা অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের গড় মান.

যেখানে A সর্বাধিক ফ্রিকোয়েন্সি (সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি সহ ব্যবধানের মাঝামাঝি) ভেরিয়েন্টের সমান শর্তসাপেক্ষ শূন্য, h হল ব্যবধানের ধাপ।

পরিবর্তনের পরিসর (বা প্রকরণের পরিসীমা) -বৈশিষ্ট্যের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের মধ্যে পার্থক্য হল:

আমাদের উদাহরণে, শ্রমিকদের শিফট আউটপুটের পরিবর্তনের পরিসর হল: প্রথম ব্রিগেডে R=105-95=10 শিশু, দ্বিতীয় ব্রিগেডে R=125-75=50 শিশু। (5 গুণ বেশি)। এটি পরামর্শ দেয় যে 1 ম ব্রিগেডের আউটপুট আরও "স্থিতিশীল", তবে দ্বিতীয় ব্রিগেডের আউটপুট বৃদ্ধির জন্য আরও বেশি রিজার্ভ রয়েছে, কারণ। যদি সমস্ত কর্মী এই ব্রিগেডের জন্য সর্বাধিক আউটপুটে পৌঁছায় তবে এটি 3 * 125 = 375 অংশ উত্পাদন করতে পারে এবং 1 ম ব্রিগেডে শুধুমাত্র 105 * 3 = 315 অংশ।
যদি অ্যাট্রিবিউটের চরম মানগুলি জনসংখ্যার জন্য সাধারণ না হয়, তাহলে কোয়ার্টাইল বা ডেসিল রেঞ্জ ব্যবহার করা হয়। কোয়ার্টাইল রেঞ্জ RQ= Q3-Q1 জনসংখ্যার 50% কভার করে, প্রথম ডেসিল রেঞ্জ RD1 = D9-D1 ডেটার 80% কভার করে, দ্বিতীয় ডেসিল রেঞ্জ RD2= D8-D2 60% কভার করে।
বৈচিত্র্য পরিসীমা নির্দেশকের অসুবিধা হল, কিন্তু এর মান বৈশিষ্ট্যের সমস্ত ওঠানামাকে প্রতিফলিত করে না।
সবচেয়ে সহজ সাধারণীকরণ সূচক যা একটি বৈশিষ্ট্যের সমস্ত ওঠানামাকে প্রতিফলিত করে মানে রৈখিক বিচ্যুতি, যা তাদের গড় মান থেকে পৃথক বিকল্পগুলির পরম বিচ্যুতির গাণিতিক গড়:

,
গোষ্ঠীবদ্ধ ডেটার জন্য
,
যেখানে хi হল একটি বিযুক্ত সিরিজের বৈশিষ্ট্যের মান বা ব্যবধান বন্টনের মধ্যবর্তী ব্যবধান।
উপরের সূত্রগুলিতে, লবের পার্থক্যগুলিকে মডিউল হিসাবে নেওয়া হয়, অন্যথায়, গাণিতিক গড়ের বৈশিষ্ট্য অনুসারে, লব সর্বদা শূন্যের সমান হবে। অতএব, পরিসংখ্যানগত অনুশীলনে গড় রৈখিক বিচ্যুতি খুব কমই ব্যবহৃত হয়, শুধুমাত্র সেই ক্ষেত্রে যেখানে চিহ্নটিকে বিবেচনায় না নিয়ে সূচকগুলিকে যোগ করা অর্থনৈতিক অর্থবোধ করে। এর সাহায্যে, উদাহরণস্বরূপ, কর্মচারীদের গঠন, উত্পাদনের লাভজনকতা এবং বিদেশী বাণিজ্য টার্নওভার বিশ্লেষণ করা হয়।
বৈশিষ্ট্য বৈচিত্র্যতাদের গড় মান থেকে বৈকল্পিকটির বিচ্যুতির গড় বর্গ:
সরল পার্থক্য
,
ওজনযুক্ত বৈচিত্র
.
বৈচিত্র গণনা করার সূত্রটি সরলীকৃত করা যেতে পারে:

এইভাবে, বৈকল্পিকটি ভেরিয়েন্টের বর্গের গড় এবং জনসংখ্যার বৈকল্পিকের গড় বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সমান:
.
যাইহোক, বর্গীয় বিচ্যুতির সমষ্টির কারণে, প্রকরণটি বিচ্যুতিগুলির একটি বিকৃত ধারণা দেয়, তাই এটি থেকে গড় গণনা করা হয়। আদর্শ চ্যুতি, যা দেখায় যে বৈশিষ্ট্যের নির্দিষ্ট রূপগুলি তাদের গড় মান থেকে গড়ে কতটা বিচ্যুত হয়৷ প্রকরণের বর্গমূল গ্রহণ করে গণনা করা হয়:
গ্রুপবিহীন ডেটার জন্য
,
ভিন্নতা সিরিজের জন্য

প্রকরণ এবং মান বিচ্যুতির মান যত কম হবে, জনসংখ্যা যত বেশি সমজাতীয় হবে, গড় মান তত বেশি নির্ভরযোগ্য (সাধারণ) হবে।
গড় রৈখিক এবং গড় বর্গাকার বিচ্যুতিকে সংখ্যা বলা হয়, অর্থাৎ, এগুলি বৈশিষ্ট্যের পরিমাপের এককে প্রকাশ করা হয়, বিষয়বস্তুতে অভিন্ন এবং মূল্যের কাছাকাছি।
টেবিল ব্যবহার করে বৈচিত্র্যের পরম সূচক গণনা করার পরামর্শ দেওয়া হয়।
সারণি 3 - পরিবর্তনের বৈশিষ্ট্যগুলির গণনা (কাজের দলগুলির শিফট আউটপুটে ডেটার সময়কালের উদাহরণে)

	শ্রমিকের সংখ্যা	মাঝের ব্যবধান	আনুমানিক মান
মোট:

শ্রমিকদের গড় শিফট আউটপুট:

গড় রৈখিক বিচ্যুতি:

আউটপুট বিচ্ছুরণ:

গড় আউটপুট থেকে পৃথক কর্মীদের আউটপুটের আদর্শ বিচ্যুতি:
.

1 মুহুর্তের পদ্ধতি দ্বারা বিচ্ছুরণের গণনা

বৈচিত্র্যের গণনা কষ্টকর গণনার সাথে যুক্ত (বিশেষত যদি গড়কে বেশ কয়েকটি দশমিক স্থান সহ একটি বড় সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা হয়)। একটি সরলীকৃত সূত্র এবং বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে গণনা সহজ করা যেতে পারে।
বিচ্ছুরণের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

1. যদি অ্যাট্রিবিউটের সমস্ত মান একই মান A দ্বারা হ্রাস বা বৃদ্ধি করা হয়, তবে এর থেকে বৈচিত্র্য হ্রাস পাবে না:

,

, তারপর বা
প্রকরণের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে এবং প্রথমে A মান দ্বারা জনসংখ্যার সমস্ত রূপকে হ্রাস করে, এবং তারপর ব্যবধান h এর মান দ্বারা ভাগ করে, আমরা সমান ব্যবধানের সাথে প্রকরণগত সিরিজে বৈচিত্র গণনা করার জন্য একটি সূত্র পাই মুহুর্তের উপায়:
,
যেখানে মুহুর্তের পদ্ধতি দ্বারা বিচ্ছুরণ গণনা করা হয়;
h হল প্রকরণ সিরিজের ব্যবধানের মান;
- নতুন (রূপান্তরিত) বৈকল্পিক মান;
A হল একটি ধ্রুবক মান, যা সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি সহ ব্যবধানের মাঝামাঝি হিসাবে ব্যবহৃত হয়; অথবা সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি সহ বৈকল্পিক;
প্রথম আদেশের মুহূর্তের বর্গ;
দ্বিতীয় আদেশের একটি মুহূর্ত।
চলুন কর্মরত দলের শিফট আউটপুটের ডেটার উপর ভিত্তি করে মুহূর্তগুলির পদ্ধতি দ্বারা বৈচিত্র্য গণনা করা যাক।
সারণী 4 - মুহূর্তের পদ্ধতি দ্বারা বিচ্ছুরণের গণনা

উৎপাদন কর্মীদের দল, পিসি।	শ্রমিকের সংখ্যা	মাঝের ব্যবধান	আনুমানিক মান

গণনা পদ্ধতি:

1. পার্থক্য গণনা করুন:

2 একটি বিকল্প বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্যের গণনা

পরিসংখ্যান দ্বারা অধ্যয়ন করা লক্ষণগুলির মধ্যে, এমনগুলি রয়েছে যেগুলির কেবল দুটি পারস্পরিক একচেটিয়া অর্থ রয়েছে। এগুলি বিকল্প লক্ষণ। তাদের যথাক্রমে দুটি পরিমাণগত মান দেওয়া হয়েছে: বিকল্প 1 এবং 0। বিকল্প 1 এর ফ্রিকোয়েন্সি, যা p দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এই বৈশিষ্ট্যটি রয়েছে এমন ইউনিটগুলির অনুপাত। পার্থক্য 1-p=q হল বিকল্প 0 এর ফ্রিকোয়েন্সি। এভাবে,

একাদশ

বিকল্প বৈশিষ্ট্যের পাটিগণিত গড়
, যেহেতু p+q=1।

বৈশিষ্ট্য বৈচিত্র্য
, কারণ 1-p=q
এইভাবে, একটি বিকল্প অ্যাট্রিবিউটের প্রকরণ হল এই অ্যাট্রিবিউট থাকা এককগুলির অনুপাতের গুণফল এবং এই অ্যাট্রিবিউট নেই এমন ইউনিটগুলির অনুপাতের সমান৷
যদি মান 1 এবং 0 সমানভাবে ঘন ঘন হয়, যেমন p=q, প্রকরণটি তার সর্বোচ্চ pq=0.25 এ পৌঁছায়।
নমুনা সমীক্ষায় ভেরিয়েন্স ভেরিয়েবল ব্যবহার করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, পণ্যের গুণমান।

3 আন্তঃগোষ্ঠী বিচ্ছুরণ। ভিন্নতা যোগ করার নিয়ম

বিচ্ছুরণ, ভিন্নতার অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের বিপরীতে, একটি সংযোজক পরিমাণ। অর্থাৎ, সমষ্টিগতভাবে, যা ফ্যাক্টরের মানদণ্ড অনুসারে গ্রুপে বিভক্ত এক্স , ফলস্বরূপ বৈচিত্র্য yপ্রতিটি গোষ্ঠীর মধ্যে (গোষ্ঠীর মধ্যে) বৈচিত্র্য এবং গোষ্ঠীর মধ্যে (গোষ্ঠীর মধ্যে) পার্থক্যে পচে যেতে পারে। তারপর, সমগ্র জনসংখ্যা জুড়ে বৈশিষ্টের বৈচিত্র্যের অধ্যয়নের পাশাপাশি, প্রতিটি গোষ্ঠীতে, সেইসাথে এই গোষ্ঠীগুলির মধ্যে বৈচিত্র অধ্যয়ন করা সম্ভব হয়।

মোট বৈচিত্র্যএকটি বৈশিষ্ট্যের তারতম্য পরিমাপ করে এএই ভিন্নতা (বিচ্যুতি) সৃষ্টিকারী সমস্ত কারণের প্রভাবে সমগ্র জনসংখ্যার উপর। এটি বৈশিষ্ট্যের স্বতন্ত্র মানের বিচ্যুতির গড় বর্গক্ষেত্রের সমান এসামগ্রিক গড় এবং সহজ বা ওজনযুক্ত বৈচিত্র হিসাবে গণনা করা যেতে পারে।
আন্তঃগ্রুপ বৈচিত্র্যকার্যকরী বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্যকে চিহ্নিত করে এ, সাইন-ফ্যাক্টরের প্রভাব দ্বারা সৃষ্ট এক্সগ্রুপিং অন্তর্নিহিত. এটি গোষ্ঠীর অর্থের বৈচিত্র্যকে চিহ্নিত করে এবং মোট গড় থেকে গোষ্ঠীর অর্থের বিচ্যুতির গড় বর্গক্ষেত্রের সমান:
,
i-ম গোষ্ঠীর গাণিতিক গড় কোথায়;
- i-th গ্রুপে ইউনিটের সংখ্যা (i-th গ্রুপের ফ্রিকোয়েন্সি);
জনসংখ্যার মোট গড়।
আন্তঃগ্রুপ বৈচিত্র্যর্যান্ডম প্রকরণ প্রতিফলিত করে, অর্থাৎ, বৈচিত্র্যের সেই অংশ যা কারণগুলির জন্য হিসাবহীনের প্রভাব দ্বারা সৃষ্ট হয় এবং গ্রুপিংয়ের অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্য-ফ্যাক্টরের উপর নির্ভর করে না। এটি গ্রুপ গড়ের সাথে সম্পর্কিত পৃথক মানের বৈচিত্র্যকে চিহ্নিত করে, এটি বৈশিষ্ট্যের পৃথক মানের বিচ্যুতির গড় বর্গক্ষেত্রের সমান। এএই গোষ্ঠীর গাণিতিক গড় (গ্রুপ গড়) থেকে একটি গোষ্ঠীর মধ্যে এবং প্রতিটি গোষ্ঠীর জন্য একটি সরল বা ওজনযুক্ত প্রকরণ হিসাবে গণনা করা হয়:
বা ,
গ্রুপে ইউনিটের সংখ্যা কোথায়।
প্রতিটি গ্রুপের জন্য আন্তঃ-গ্রুপ বৈচিত্রের উপর ভিত্তি করে, এটি নির্ধারণ করা সম্ভব গ্রুপের মধ্যে পার্থক্যের সামগ্রিক গড়:
.
তিনটি ভিন্নতার মধ্যে সম্পর্ক বলা হয় প্রকরণ সংযোজনের নিয়ম, যা অনুসারে মোট প্রকরণটি আন্তঃগোষ্ঠী বৈচিত্র্যের যোগফল এবং অন্তর্গোষ্ঠীর বৈচিত্র্যের গড় সমান:

উদাহরণ. তাদের শ্রমের উত্পাদনশীলতার স্তরের উপর শ্রমিকদের ট্যারিফ বিভাগের (যোগ্যতা) প্রভাব অধ্যয়ন করার সময়, নিম্নলিখিত ডেটা প্রাপ্ত হয়েছিল।
সারণি 5 - গড় ঘন্টায় আউটপুট দ্বারা শ্রমিকদের বিতরণ।

№ p/p	৪র্থ শ্রেণীর শ্রমিক				৫ম শ্রেণীর শ্রমিক
	কাজের বাইরে কর্মী, পিসি।,				কাজের বাইরে কর্মী, পিসি।,
1 2 3 4 5 6	7 9 9 10 12 13	7-10=-3 9-10=-1 -1 0 2 3	9 1 1 0 4 9	1 2 3 4	14 14 15 17	14-15=-1 -1 0 2	1 1 0 4

এই উদাহরণে, শ্রমিকদের ফ্যাক্টর অনুসারে দুটি গ্রুপে ভাগ করা হয়েছে এক্স- যোগ্যতা, যা তাদের পদমর্যাদার দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। কার্যকরী বৈশিষ্ট্য - উৎপাদন - এর প্রভাবে (আন্তঃগ্রুপ প্রকরণ) এবং অন্যান্য এলোমেলো কারণের কারণে (অন্তঃগোষ্ঠী প্রকরণ) উভয়ই পরিবর্তিত হয়। তিনটি বৈচিত্র ব্যবহার করে এই বৈচিত্রগুলি পরিমাপ করা চ্যালেঞ্জটি হল: মোট, গ্রুপের মধ্যে এবং গ্রুপের মধ্যে। নির্ণয়ের অভিজ্ঞতামূলক সহগ ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনের অনুপাত দেখায় এএকটি ফ্যাক্টর সাইন প্রভাব অধীনে এক্স. বাকি টোটাল ভ্যারিয়েশন এঅন্যান্য কারণের পরিবর্তন দ্বারা সৃষ্ট।
উদাহরণে, নির্ণয়ের অভিজ্ঞতামূলক সহগ হল:
বা 66.7%,
এর মানে হল যে শ্রমিকদের শ্রম উৎপাদনশীলতার বৈচিত্র্যের 66.7% যোগ্যতার পার্থক্যের কারণে, এবং 33.3% অন্যান্য কারণের প্রভাবের কারণে।
অভিজ্ঞতামূলক পারস্পরিক সম্পর্কগ্রুপিং এবং কার্যকর বৈশিষ্ট্যের মধ্যে সম্পর্কের নিবিড়তা দেখায়। এটি নির্ধারণের অভিজ্ঞতামূলক সহগের বর্গমূল হিসাবে গণনা করা হয়:

অভিজ্ঞতামূলক পারস্পরিক সম্পর্ক অনুপাত, সেইসাথে, 0 থেকে 1 পর্যন্ত মান নিতে পারে।
যদি কোন সংযোগ না থাকে, তাহলে =0। এই ক্ষেত্রে, =0, অর্থাৎ, গোষ্ঠীর অর্থ একে অপরের সমান এবং কোন আন্তঃগ্রুপ ভিন্নতা নেই। এর মানে হল গ্রুপিং সাইন - ফ্যাক্টর সাধারণ প্রকরণের গঠনকে প্রভাবিত করে না।
যদি সম্পর্কটি কার্যকরী হয়, তাহলে =1। এই ক্ষেত্রে, গ্রুপের ভ্যারিয়েন্স মানে মোট ভ্যারিয়েন্সের সমান (), অর্থাৎ, কোন ইন্ট্রাগ্রুপ ভ্যারিয়েশন নেই। এর মানে হল যে গ্রুপিং বৈশিষ্ট্য সম্পূর্ণরূপে অধ্যয়ন করা ফলাফল বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র নির্ধারণ করে।
পারস্পরিক সম্পর্কের মান যত কাছাকাছি, তত কাছাকাছি, কার্যকরী নির্ভরতার কাছাকাছি, বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সম্পর্ক।
লক্ষণগুলির মধ্যে সংযোগের ঘনিষ্ঠতার গুণগত মূল্যায়নের জন্য, চ্যাডক সম্পর্কগুলি ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণে , যা শ্রমিকদের উৎপাদনশীলতা এবং তাদের যোগ্যতার মধ্যে ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক নির্দেশ করে।

পাটিগণিত গড় গণনা করার পদ্ধতি (মুহূর্তগুলির পদ্ধতি দ্বারা সরল এবং ওজনযুক্ত গাণিতিক গড়)

আমরা গড় মান নির্ধারণ করি:

মোড (Mo) \u003d 11, কারণ এই বৈকল্পিকটি প্রায়শই প্রকরণ সিরিজে ঘটে (p=6)।

মাঝারি (Me) - মধ্যম অবস্থানে থাকা বৈকল্পিকটির ক্রমিক সংখ্যা = 23, প্রকরণ সিরিজের এই স্থানটি 11 এর সমান বৈকল্পিক দ্বারা দখল করা হয়েছে। পাটিগণিত গড় (M) আপনাকে সবচেয়ে সম্পূর্ণরূপে গড় স্তরের বৈশিষ্ট্য চিহ্নিত করতে দেয় অধ্যয়নের অধীনে বৈশিষ্ট্য। পাটিগণিত গড় গণনা করতে, দুটি পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়: পাটিগণিত গড় পদ্ধতি এবং মুহুর্তের পদ্ধতি।

যদি প্রকরণ সিরিজের প্রতিটি বৈকল্পিক সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি 1 এর সমান হয়, তাহলে পাটিগণিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করে সরল গাণিতিক গড় গণনা করা হয়: M = .

যদি পরিবর্তনশীল সিরিজে একটি বৈকল্পিক সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি 1 থেকে ভিন্ন হয়, তাহলে পাটিগণিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করে ওজনযুক্ত গাণিতিক গড় গণনা করা হয়:

মুহুর্তের পদ্ধতি অনুসারে: A - শর্তাধীন গড়,

M = A + =11 += 10.4 d=V-A, A=Mo=11

যদি বৈচিত্র্য সিরিজে বিকল্পের সংখ্যা 30-এর বেশি হয়, তাহলে একটি গোষ্ঠীবদ্ধ সিরিজ তৈরি করা হয়। একটি গোষ্ঠীবদ্ধ সিরিজ নির্মাণ:

1) Vmin এবং Vmax Vmin=3, Vmax=20 নির্ধারণ;

2) গোষ্ঠীর সংখ্যা নির্ধারণ (সারণী অনুসারে);

3) গ্রুপের মধ্যে ব্যবধানের গণনা i = 3;

4) দলের শুরু এবং শেষ নির্ধারণ;

5) প্রতিটি গ্রুপের ফ্রিকোয়েন্সি বৈকল্পিক নির্ধারণ (সারণী 2)।

টেবিল ২

গোষ্ঠীবদ্ধ সিরিজ নির্মাণের কৌশল

সময়কাল দিনের মধ্যে চিকিত্সা
n=45 p=480 p=30 2 p=766

একটি গোষ্ঠীবদ্ধ বৈচিত্র্যমূলক সিরিজের সুবিধা হল যে গবেষক প্রত্যেকটি বৈকল্পিকের সাথে কাজ করেন না, তবে শুধুমাত্র প্রতিটি গোষ্ঠীর জন্য গড় রূপের সাথে কাজ করেন। এটি গড় গণনা করা অনেক সহজ করে তোলে।

আপেক্ষিক একতা থাকা সত্ত্বেও এই বা সেই বৈশিষ্ট্যটির মান জনসংখ্যার সকল সদস্যের জন্য একই নয়। পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যার এই বৈশিষ্ট্যটি সাধারণ জনসংখ্যার গ্রুপ বৈশিষ্ট্যগুলির একটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় - বৈশিষ্ট্য বৈচিত্র্য. উদাহরণস্বরূপ, আসুন 12 বছর বয়সী ছেলেদের একটি দল নিন এবং তাদের উচ্চতা পরিমাপ করুন। গণনার পরে, এই বৈশিষ্ট্যের গড় স্তর হবে 153 সেমি। তবে গড় অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের সাধারণ পরিমাপকে চিহ্নিত করে। এই বয়সের ছেলেদের মধ্যে এমন ছেলেরা রয়েছে যাদের উচ্চতা 165 সেমি বা 141 সেমি। যত বেশি ছেলেদের উচ্চতা 153 সেমি ছাড়া, পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যায় এই বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্য তত বেশি।

পরিসংখ্যান আমাদের নিম্নলিখিত মানদণ্ড দ্বারা এই সম্পত্তি চিহ্নিত করতে অনুমতি দেয়:

সীমা (সীমা),

প্রশস্ততা (অ্যাম্প),

আদর্শ চ্যুতি ( y) ,

প্রকরণ সহগ (Cv)।

সীমা (সীমা)প্রকরণ সিরিজের ভেরিয়েন্টের চরম মান দ্বারা নির্ধারিত হয়:

lim=Vmin/Vmax

প্রশস্ততা (অ্যাম্প) -চরম বিকল্পের পার্থক্য:

Amp=Vmax -Vmin

এই মানগুলি শুধুমাত্র চরম বিকল্পগুলির বৈচিত্র্যকে বিবেচনা করে এবং এর অভ্যন্তরীণ কাঠামোকে বিবেচনায় রেখে সমষ্টিগত বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্য সম্পর্কে তথ্য পাওয়ার অনুমতি দেয় না। অতএব, এই মানদণ্ডগুলি বৈচিত্র্যের আনুমানিক বৈশিষ্ট্যের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, বিশেষত অল্প সংখ্যক পর্যবেক্ষণের সাথে (n<30).

বৈচিত্র্য সিরিজ চিকিৎসা পরিসংখ্যান

A - শর্তসাপেক্ষ গড় (অন্যদের তুলনায় প্রায়শই প্রকরণ সিরিজে পুনরাবৃত্তি হয়)

ক - শর্তাধীন গড় (র্যাঙ্ক) থেকে শর্তসাপেক্ষ বিচ্যুতি

i - ব্যবধান

1 ম পর্যায় - দলের মাঝখানে নির্ধারণ;

2য় পর্যায় - গোষ্ঠীগুলির র‌্যাঙ্কিং: 0 গ্রুপে বরাদ্দ করা হয়েছে, যে বৈকল্পিকটির সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি সর্বোচ্চ। সেগুলো. এই ক্ষেত্রে 7-11 (ফ্রিকোয়েন্সি -32)। এই গ্রুপ থেকে উপরে, (-1) যোগ করে র‌্যাঙ্কিং করা হয়। নিচে - বৃদ্ধি (+1)।

3 য় পর্যায় - শর্তাধীন মোড নির্ধারণ (শর্তাধীন গড়)। A হল মোডাল ব্যবধানের মাঝামাঝি। আমাদের ক্ষেত্রে, মোডাল ব্যবধান 7 -11, তাই A = 9।

4 র্থ পর্যায় - ব্যবধান নির্ধারণ। সিরিজের সমস্ত গ্রুপের ব্যবধান একই এবং সমান 5। i = 5/

5 ম পর্যায় - মোট পর্যবেক্ষণ সংখ্যা নির্ধারণ। n = ∑p = 103।

আমরা সূত্রে প্রাপ্ত ডেটা প্রতিস্থাপন করি:

স্বাধীন কাজের জন্য কাজ

গোষ্ঠীবদ্ধ প্রকরণ সিরিজের ডেটা ব্যবহার করে, মুহূর্তগুলির পদ্ধতি দ্বারা গাণিতিক গড় গণনা করুন।

বিকল্প নম্বর 1

বিকল্প নম্বর 2

বিকল্প নম্বর 3

বিকল্প নম্বর 4

বিকল্প নম্বর 5

বিকল্প নম্বর 6

বিকল্প নম্বর 7

বিকল্প নম্বর 8

বিকল্প নম্বর 9

বিকল্প নম্বর 10

বিকল্প নম্বর 11

বিকল্প নম্বর 12

টাস্ক №4 একটি বিজোড় সংখ্যক বিকল্প সহ একটি গোষ্ঠীবিহীন পরিবর্তনশীল সিরিজে মোড এবং মধ্যমা নির্ধারণ করা

অসুস্থ শিশুদের ইনপেশেন্ট চিকিৎসার শর্তাবলী: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20।

ভিন্নতা সিরিজে মোড নির্ধারণ করতে, সিরিজের র‌্যাঙ্কিং ঐচ্ছিক। যাইহোক, মধ্যমা নির্ধারণের আগে, ঊর্ধ্বগামী বা অবরোহ ক্রমে একটি ভিন্নতা সিরিজ নির্মাণ করা প্রয়োজন।

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

মোড = 16। বিকল্প 16 সবচেয়ে বেশি বার ঘটে (3 বার)।

যদি সংঘটনের সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি সহ বেশ কয়েকটি বিকল্প থাকে, তবে প্রকরণ সিরিজে দুটি বা ততোধিক মোড নির্দেশিত হতে পারে।

একটি বিজোড় সংখ্যা সহ একটি সিরিজের মধ্যক সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

8 হল র‌্যাঙ্ক করা প্রকরণ সিরিজের মধ্যকের ক্রমিক সংখ্যা,

যে. আমি = 17।

টাস্ক №5 একটি সম সংখ্যক বিকল্প সহ একটি গোষ্ঠীবিহীন ভিন্নতা সিরিজে মোড এবং মধ্যমা নির্ধারণ করা।

টাস্কে প্রদত্ত ডেটার উপর ভিত্তি করে, আপনাকে মোড এবং মধ্যমা খুঁজে বের করতে হবে

অসুস্থ শিশুদের ইনপেশেন্ট চিকিৎসার শর্তাবলী: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

আমরা একটি র‌্যাঙ্ক করা ভিন্নতামূলক সিরিজ তৈরি করি:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

আমাদের কাছে 16 এবং 17 দুটি মধ্যক সংখ্যা রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, মধ্যমাটি তাদের মধ্যে গাণিতিক গড় হিসাবে পাওয়া যায়। আমি = 16.5।

4. জোড় এবং বিজোড়।

জোড় পরিবর্তনশীল সিরিজে, ফ্রিকোয়েন্সির যোগফল বা পর্যবেক্ষণের মোট সংখ্যাকে জোড় সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা হয়, বিজোড় পরিবর্তনশীল সিরিজে, বিজোড় সংখ্যা হিসেবে।

5. প্রতিসম এবং অপ্রতিসম।

একটি প্রতিসম প্রকরণ সিরিজে, সমস্ত ধরণের গড় মিলে যায় বা খুব কাছাকাছি (মোড, মধ্যমা, গাণিতিক গড়)।

অধ্যয়ন করা ঘটনার প্রকৃতির উপর নির্ভর করে পরিসংখ্যানগত অধ্যয়নের নির্দিষ্ট কাজ এবং উদ্দেশ্যগুলির উপর, সেইসাথে স্যানিটারি পরিসংখ্যানে উত্স উপাদানের বিষয়বস্তুর উপর নিম্নলিখিত ধরনের গড় ব্যবহার করা হয়:

কাঠামোগত গড় (মোড, মধ্যমা);

পাটিগণিত গড়;

গড় সুরেলা;

জ্যামিতিক গড়

মাঝারি প্রগতিশীল।

ফ্যাশন (Mo) - পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্যের মান, যা অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার মধ্যে বেশি সাধারণ, যেমন সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বিকল্প। এটি কোনো গণনার অবলম্বন না করে সরাসরি বৈচিত্র্য সিরিজের গঠন দ্বারা পাওয়া যায়। এটি সাধারণত পাটিগণিত গড়ের খুব কাছাকাছি একটি মান এবং অনুশীলনে খুব সুবিধাজনক।

মধ্যমা (M e) - ভ্যারিয়েশন সিরিজকে (র‍্যাঙ্ক করা, অর্থাৎ বিকল্পের মান ঊর্ধ্বগামী বা অবরোহী ক্রমে সাজানো হয়) দুটি সমান ভাগে ভাগ করা। মধ্যমাটি তথাকথিত বিজোড় সিরিজ ব্যবহার করে গণনা করা হয়, যা ধারাবাহিকভাবে ফ্রিকোয়েন্সি যোগ করে প্রাপ্ত হয়। যদি ফ্রিকোয়েন্সিগুলির যোগফল একটি জোড় সংখ্যার সাথে মিলে যায়, তবে মধ্যমাটিকে প্রচলিতভাবে দুটি গড় মানের পাটিগণিত গড় হিসাবে নেওয়া হয়।

একটি উন্মুক্ত জনসংখ্যার ক্ষেত্রে মোড এবং মিডিয়ান প্রয়োগ করা হয়, যেমন যখন সবচেয়ে বড় বা সবচেয়ে ছোট বিকল্পগুলির একটি সঠিক পরিমাণগত বৈশিষ্ট্য নেই (উদাহরণস্বরূপ, 15 বছরের কম বয়সী, 50 এবং তার বেশি বয়সী, ইত্যাদি)। এই ক্ষেত্রে, পাটিগণিত গড় (প্যারামেট্রিক বৈশিষ্ট্য) গণনা করা যাবে না।

গড় আমি পাটিগণিত - সবচেয়ে সাধারণ মান। পাটিগণিত গড় সাধারণত দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এম.

সরল পাটিগণিত গড় এবং ওজনযুক্ত গড় মধ্যে পার্থক্য করুন।

সরল গাণিতিক গড় গণনা করা:

— সেই ক্ষেত্রে যখন সামগ্রিকতা প্রতিটি ইউনিটের জন্য একটি বৈশিষ্ট্যের জ্ঞানের একটি সাধারণ তালিকা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়;

— যদি প্রতিটি রূপের পুনরাবৃত্তির সংখ্যা নির্ধারণ করা না যায়;

— যদি প্রতিটি ভেরিয়েন্টের পুনরাবৃত্তির সংখ্যা একে অপরের কাছাকাছি হয়।

সরল গাণিতিক গড় সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

যেখানে V - বৈশিষ্ট্যের স্বতন্ত্র মান; n হল স্বতন্ত্র মানের সংখ্যা; - সমষ্টির চিহ্ন।

এইভাবে, সরল গড় হল বৈকল্পিকের যোগফল এবং পর্যবেক্ষণের সংখ্যার অনুপাত।

উদাহরণ: নিউমোনিয়ায় আক্রান্ত 10 জন রোগীর বিছানায় থাকার গড় দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করুন:

16 দিন - 1 রোগী; 17-1; 18-1; 19-1; 20-1; 21-1; 22-1; 23-1; 26-1; 31-1।

বিছানার দিন

গাণিতিক ওজনযুক্ত গড় এমন ক্ষেত্রে গণনা করা হয় যেখানে বৈশিষ্ট্যের স্বতন্ত্র মানগুলি পুনরাবৃত্তি হয়। এটি দুটি উপায়ে গণনা করা যেতে পারে:

1. সূত্র অনুযায়ী সরাসরি (পাটিগণিত গড় বা সরাসরি পদ্ধতি):

যেখানে P হল প্রতিটি বিকল্পের পর্যবেক্ষণের ফ্রিকোয়েন্সি (কেসের সংখ্যা)।

এইভাবে, ওজনযুক্ত গাণিতিক গড় হল কম্পাঙ্ক এবং পর্যবেক্ষণের সংখ্যা দ্বারা বৈকল্পিকের গুণফলের যোগফলের অনুপাত।

2. শর্তাধীন গড় থেকে বিচ্যুতি গণনা করে (মুহূর্তগুলির পদ্ধতি অনুসারে)।

ওজনযুক্ত পাটিগণিত গড় গণনা করার ভিত্তি হল:

- একটি পরিমাণগত বৈশিষ্ট্যের বৈকল্পিক অনুসারে গোষ্ঠীবদ্ধ উপাদান;

— সমস্ত অপশনকে অ্যাট্রিবিউট মান (র্যাঙ্ক করা সিরিজ) এর ঊর্ধ্বগামী বা অবরোহ ক্রমে সাজানো উচিত।

মুহূর্তগুলির পদ্ধতি দ্বারা গণনা করার জন্য, পূর্বশর্ত হল সমস্ত ব্যবধানের একই আকার।

মুহুর্তের পদ্ধতি অনুসারে, গাণিতিক গড় সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

,

যেখানে M o হল শর্তসাপেক্ষ গড়, যা প্রায়শই সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সির সাথে সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যের মান হিসাবে নেওয়া হয়, যেমন যা প্রায়ই পুনরাবৃত্তি হয় (মোড)।

i - ব্যবধান মান।

a - গড় অবস্থা থেকে শর্তসাপেক্ষ বিচ্যুতি, যা একটি বৃহৎ শর্তাধীন গড় বিকল্পের জন্য + চিহ্ন সহ সংখ্যাগুলির একটি অনুক্রমিক সিরিজ (1, 2, ইত্যাদি) এবং একটি - (-1, -2, ইত্যাদি) একটি বিকল্পের জন্য সাইন ইন করুন, যা গড়ের নিচে। শর্তসাপেক্ষ গড় হিসাবে নেওয়া রূপ থেকে শর্তসাপেক্ষ বিচ্যুতি হল 0।

P - ফ্রিকোয়েন্সি।

মোট পর্যবেক্ষণ সংখ্যা বা n.

উদাহরণ: সরাসরি 8 বছর বয়সী ছেলেদের গড় উচ্চতা নির্ধারণ করুন (সারণী 1)।

1 নং টেবিল

উচ্চতা সেমি	ছেলেরা পি	কেন্দ্রীয় বিকল্প ভি

কেন্দ্রীয় বৈকল্পিক, ব্যবধানের মাঝামাঝি, দুটি সন্নিহিত গোষ্ঠীর প্রাথমিক মানের অর্ধ-সমষ্টি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

; ইত্যাদি

কেন্দ্রীয় ভেরিয়েন্টগুলিকে ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা গুণ করে VP পণ্য পাওয়া যায়; ইত্যাদি তারপর ফলে পণ্য যোগ করা হয় এবং পেতে , যা পর্যবেক্ষণের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয় (100) এবং ওজনযুক্ত গাণিতিক গড় প্রাপ্ত হয়।

সেমি.

আমরা মুহূর্তের পদ্ধতি ব্যবহার করে একই সমস্যার সমাধান করব, যার জন্য নিম্নলিখিত টেবিল 2 সংকলিত হয়েছে:

টেবিল ২

সেমিতে উচ্চতা (V)	ছেলেরা পি

আমরা 122 কে M o হিসাবে নিই, কারণ 100টি পর্যবেক্ষণের মধ্যে 33 জনের উচ্চতা ছিল 122 সেমি। আমরা উপরের অনুযায়ী শর্তসাপেক্ষ গড় থেকে শর্তসাপেক্ষ বিচ্যুতি (a) খুঁজে পাই। তারপরে আমরা ফ্রিকোয়েন্সি (aP) দ্বারা শর্তসাপেক্ষ বিচ্যুতির গুণফল পাই এবং প্রাপ্ত মানগুলিকে সংক্ষিপ্ত করি ()। ফলাফল 17 হবে। অবশেষে, আমরা সূত্রে ডেটা প্রতিস্থাপন করি।