Момент әдісітеориялық таралу сәттерін эмпирикалық таралу сәттерімен теңестіреді (бақылаулар негізінде бөлу). Алынған теңдеулерден таралу параметрлерінің бағалары табылады. Мысалы, екі параметрі бар үлестіру үшін алғашқы екі момент (таратудың орташа және дисперсиясы, тиісінше, m және s) алғашқы екі эмпирикалық (үлгі) моментке (тиісінше таңдаманың орташа және дисперсиясы) тең орнатылады. ), содан кейін бағалау орындалады.

Мұндағы А – ең көп жиілігі бар нұсқаға тең шартты нөл (ең көп жиіліктегі интервалдың ортасы), h – интервал қадамы,

Қызметтік тапсырма. Онлайн калькуляторды пайдаланып, момент әдісі арқылы орташа мән есептеледі. Шешімнің нәтижесі Word форматында ресімделеді.

Нұсқау. Шешімді алу үшін бастапқы деректерді толтырып, Word бағдарламасында пішімдеу үшін есеп опцияларын таңдау керек.

Момент әдісімен орташаны табу алгоритмі

Мысал. Біртекті технологиялық операция үшін жұмыс уақытының шығындары жұмысшылар арасында келесідей бөлінді:

Момент әдісімен жұмыс уақыты құнының орташа мәнін және стандартты ауытқуды анықтау талап етіледі; өзгеру коэффициенті; режимі және медианасы.
Көрсеткіштерді есептеуге арналған кесте.

Топтар	Интервал ортасы, x i	Саны, fi	x i f i	Жиынтық жиілік, S	(x-x ) 2 f
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

Сән

мұндағы x 0 - модальды интервалдың басы; h – интервалдың мәні; f 2 -модальды интервалға сәйкес жиілік; f 1 - премодальды жиілік; f 3 – постмодальды жиілік.
Біз интервалдың басы ретінде 20-ны таңдаймыз, өйткені дәл осы интервал ең үлкен санды құрайды.

Серияның ең көп тараған мәні 22,78 мин.
Медиана
Медиана 20 - 25 аралығы, өйткені бұл аралықта жинақталған жиілік S медианалық саннан үлкен болады (бірінші интервал медиана деп аталады, оның жинақталған жиілігі S жиіліктердің жалпы сомасының жартысынан асады).

Осылайша, халық бірліктерінің 50% 23 мин аз болады.
.



А = 22,5, аралығы h = 5 қадамын табамыз.
Момент әдісі бойынша орташа квадраттық ауытқулар.

x c	x*i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

мин.

Стандартты ауытқу.
мин.
Вариация коэффициенті- популяциялық мәндердің салыстырмалы таралуының өлшемі: осы шаманың орташа мәнінің оның орташа таралуының қандай үлесін құрайтынын көрсетеді.

Өйткені v>30%, бірақ v<70%, то вариация умеренная.

Мысал

Тарату қатарын бағалау үшін келесі көрсеткіштерді табамыз:

орташа өлшенген

Момент әдісі бойынша зерттелетін белгінің орташа мәні.

мұндағы А – максимал жиілігі бар нұсқаға тең шартты нөл (ең көп жиіліктегі интервалдың ортасы), h – интервал қадамы.

Вариация диапазоны (немесе вариация диапазоны) -функцияның ең үлкен және ең төменгі мәндерінің айырмашылығы:

Біздің мысалда жұмысшылардың ауысымдық өнімділігінің вариация диапазоны: бірінші бригадада R=105-95=10 бала, екінші бригадада R=125-75=50 бала. (5 есе көп). Бұл 1-ші бригаданың өнімі «тұрақты» дегенді білдіреді, бірақ екінші бригадада өнім көлемін арттырудың резервтері көп, өйткені. егер барлық жұмысшылар осы бригада үшін максималды өнімділікке жетсе, ол 3 * 125 = 375 бөлікті, ал 1-ші бригадада тек 105 * 3 = 315 бөлікті шығара алады.
Егер төлсипаттың экстремалды мәндері популяцияға тән болмаса, онда квартиль немесе дециль диапазондары қолданылады. RQ= Q3-Q1 квартильдік диапазон популяцияның 50% қамтиды, бірінші децильдік диапазон RD1 = D9-D1 деректердің 80%, екінші децильдік диапазон RD2= D8-D2 60% қамтиды.
Вариациялық диапазон көрсеткішінің кемшілігі, бірақ оның мәні белгінің барлық ауытқуларын көрсетпейді.
Белгінің барлық ауытқуларын көрсететін қарапайым жалпылау көрсеткіші болып табылады орташа сызықтық ауытқу, бұл жеке нұсқалардың орташа мәнінен абсолютті ауытқуларының орташа арифметикалық мәні:

,
топтастырылған деректер үшін
,
мұндағы хi – дискретті қатардағы атрибуттың мәні немесе интервалдық үлестірімдегі интервалдың ортасы.
Жоғарыда келтірілген формулаларда алымдағы айырмашылықтар модуль бойынша алынады, әйтпесе орташа арифметикалық шаманың қасиетіне сәйкес алым әрқашан нөлге тең болады. Сондықтан орташа сызықтық ауытқу статистикалық тәжірибеде сирек қолданылады, тек белгілерді есепке алмай көрсеткіштерді жинақтау экономикалық мағынаға ие болатын жағдайларда ғана. Оның көмегімен, мысалы, жұмысшылардың құрамы, өндірістің рентабельділігі, сыртқы сауда айналымы талданады.
Ерекшелік ауытқуынұсқаның орташа мәнінен ауытқуларының орташа квадраты болып табылады:
қарапайым дисперсия
,
салмақты дисперсия
.
Дисперсияны есептеу формуласын жеңілдетуге болады:

Осылайша, дисперсия варианттың квадраттарының ортасы мен бас нұсқаның орташа квадратының арасындағы айырмаға тең:
.
Дегенмен, квадраттық ауытқулардың қосындысына байланысты дисперсия ауытқулар туралы бұрмаланған түсінік береді, сондықтан одан орташа мән есептеледі. стандартты ауытқу, бұл атрибуттың нақты нұсқаларының орташа мәнінен қаншалықты ауытқығанын көрсетеді. Дисперсияның квадрат түбірін алу арқылы есептеледі:
топталмаған деректер үшін
,
вариациялық қатар үшін

Дисперсия мен стандартты ауытқудың мәні неғұрлым аз болса, популяция неғұрлым біртекті болса, соғұрлым орташа мән сенімдірек (типтік) болады.
Орташа сызықтық және орташа квадраттық ауытқу сандар деп аталады, яғни олар сипаттаманың өлшем бірліктерімен көрсетіледі, мазмұны бойынша бірдей және мәні жағынан жақын.
Вариацияның абсолютті көрсеткіштерін кестелер арқылы есептеу ұсынылады.
Кесте 3 - Вариация сипаттамаларын есептеу (еңбек бригадаларының ауысымдық өнімі туралы деректер кезеңінің мысалында)

	Жұмысшылар саны	Аралықтың ортасы	Болжалды мәндер
Барлығы:

Жұмысшылардың орташа ауысымдық өнімділігі:

Орташа сызықтық ауытқу:

Шығу дисперсиясы:

Жеке жұмысшылардың өнімінің орташа өнімнен стандартты ауытқуы:
.

1 Дисперсияны момент әдісімен есептеу

Дисперсияларды есептеу қиын есептеулермен байланысты (әсіресе егер орташа мән бірнеше ондық таңбалары бар үлкен сан ретінде көрсетілсе). Жеңілдетілген формула мен дисперсия қасиеттерін қолдану арқылы есептеулерді жеңілдетуге болады.
Дисперсия келесі қасиеттерге ие:

1. егер атрибуттың барлық мәндері бірдей А мәніне азайтылса немесе көбейтілсе, онда дисперсия бұдан төмендемейді:

,

, содан кейін немесе
Дисперсияның қасиеттерін пайдаланып және алдымен бастың барлық нұсқаларын А мәніне азайтып, содан кейін h интервалының мәніне бөле отырып, интервалдары бірдей вариациялық қатардағы дисперсияны есептеу формуласын аламыз. сәттердің жолы:
,
мұндағы – момент әдісімен есептелетін дисперсия;
h – вариациялық қатардың интервалының мәні;
– жаңа (трансформацияланған) нұсқа мәндері;
А – тұрақты шама, ол ең жоғары жиіліктегі интервалдың ортасы ретінде пайдаланылады; немесе ең жоғары жиіліктегі нұсқа;
бірінші ретті моменттің квадраты;
екінші ретті момент болып табылады.
Жұмыс бригадасының ауысымдық өнімі туралы мәліметтерге сүйене отырып, момент әдісімен дисперсияны есептейік.
4-кесте – Момент әдісімен дисперсияны есептеу

Өндірістік жұмысшылар топтары, дана.	Жұмысшылар саны	Аралықтың ортасы	Болжалды мәндер

Есептеу тәртібі:

1. дисперсияны есептеңіз:

2 Альтернативті белгінің дисперсиясын есептеу

Статистика зерттейтін белгілердің ішінде бір-бірін жоққа шығаратын екі ғана мағынаға ие белгілер бар. Бұл балама белгілер. Оларға тиісінше екі сандық мән беріледі: 1 және 0 нұсқалары. p арқылы белгіленетін 1 нұсқаларының жиілігі осы мүмкіндікке ие бірліктердің үлесі болып табылады. 1-p=q айырмасы 0 варианттарының жиілігі болып табылады. Осылайша,

xi

Альтернативті белгінің арифметикалық ортасы
, өйткені p+q=1.

Ерекшелік ауытқуы
, өйткені 1-p=q
Осылайша, альтернативті атрибуттың дисперсиясы осы атрибутқа ие бірліктердің үлесі мен осы атрибутқа ие емес бірліктердің үлес салмағының көбейтіндісіне тең.
Егер 1 және 0 мәндері бірдей жиілікте болса, яғни p=q, дисперсия максималды pq=0,25-ке жетеді.
Дисперсиялық айнымалы таңдамалы зерттеулерде пайдаланылады, мысалы, өнім сапасы.

3 Топаралық дисперсия. Дисперсиялық қосу ережесі

Дисперсия, вариацияның басқа сипаттамаларына қарағанда, аддитивті шама болып табылады. Яғни, факторлық критерий бойынша топтарға бөлінген жиынтықта X , нәтижелі дисперсия жәр топ ішіндегі дисперсияға (топ ішінде) және топтар арасындағы дисперсияға (топ арасындағы) ыдырауы мүмкін. Содан кейін жалпы популяция бойынша белгінің вариациясын зерттеумен қатар әр топтағы, сондай-ақ осы топтар арасындағы вариацияны зерттеуге мүмкіндік туады.

Толық дисперсиябелгінің өзгеруін өлшейді сағосы вариацияны (ауытқуларды) тудырған барлық факторлардың әсерінен бүкіл популяция бойынша. Ол ерекшеліктің жеке мәндерінің ауытқуларының орташа квадратына тең сағжалпы орташа мәнді құрайды және қарапайым немесе өлшенген дисперсия ретінде есептелуі мүмкін.
Топаралық дисперсиятиімді қасиетінің вариациясын сипаттайды сағ, белгі-фактордың әсерінен туындаған Xтоптастырудың негізінде жатыр. Ол топтық құралдардың вариациясын сипаттайды және топтық құралдардың жалпы ортадан ауытқуларының орташа квадратына тең:
,
мұндағы i-ші топтың арифметикалық ортасы;
– i-ші топтағы бірлік саны (і-ші топтың жиілігі);
халықтың жалпы орташа мәні болып табылады.
Топ ішіндегі дисперсиякездейсоқ вариацияны көрсетеді, яғни есепке алынбаған факторлардың әсерінен туындаған және топтастыру негізінде жатқан атрибут-факторға тәуелді емес вариацияның бөлігі. Ол топтық орташа мәндерге қатысты жеке мәндердің вариациясын сипаттайды, ол белгінің жеке мәндерінің ауытқуларының орташа квадратына тең сағтоп ішінде осы топтың орташа арифметикалық мәнінен (топтық орташа) және әрбір топ үшін қарапайым немесе өлшенген дисперсия ретінде есептеледі:
немесе ,
мұндағы топтағы бірліктердің саны.
Әр топ үшін топ ішілік дисперсиялар негізінде анықтауға болады топ ішіндегі ауытқулардың жалпы орташа мәні:
.
Үш дисперсия арасындағы қатынас деп аталады дисперсияны қосу ережелері, оған сәйкес жалпы дисперсия топ аралық дисперсияның қосындысына және топ ішіндегі дисперсиялардың орташа мәніне тең:

Мысал. Жұмысшылардың тарифтік разрядының (біліктілігінің) олардың еңбек өнімділігі деңгейіне әсерін зерттеу кезінде келесі мәліметтер алынды.
Кесте 5 – Жұмысшылардың орташа сағаттық өнім бойынша бөлінуі.

№ б/б	4-разрядты жұмысшылар				5-разрядты жұмысшылар
	Жаттығу жұмысшы, дана,				Жаттығу жұмысшы, дана,
1 2 3 4 5 6	7 9 9 10 12 13	7-10=-3 9-10=-1 -1 0 2 3	9 1 1 0 4 9	1 2 3 4	14 14 15 17	14-15=-1 -1 0 2	1 1 0 4

Бұл мысалда жұмысшылар фактор бойынша екі топқа бөлінеді X- дәрежесімен сипатталатын біліктілік. Тиімді қасиет – өндіріс – оның әсерінен де (топ аралық вариация) да, басқа кездейсоқ факторларға байланысты да (топ ішіндегі вариация) өзгереді. Мәселе үш дисперсияны пайдаланып осы вариацияларды өлшеу болып табылады: жалпы, топ аралық және топ ішіндегі. Детерминацияның эмпирикалық коэффициенті алынған белгінің вариациясының үлесін көрсетеді сағфактор белгісінің әсерінен X. Жалпы вариацияның қалған бөлігі сағбасқа факторлардың өзгеруіне байланысты.
Мысалда эмпирикалық детерминация коэффициенті:
немесе 66,7%,
Бұл жұмысшылардың еңбек өнімділігінің өзгеруінің 66,7%-ы біліктілік айырмашылығынан, 33,3%-ы басқа факторлардың әсерінен екенін білдіреді.
Эмпирикалық корреляциялық қатынастоптастыру мен тиімді белгілер арасындағы байланыстың тығыздығын көрсетеді. Ол эмпирикалық детерминация коэффициентінің квадрат түбірі ретінде есептеледі:

Эмпирикалық корреляция коэффициенті 0-ден 1-ге дейінгі мәндерді қабылдай алады.
Егер байланыс болмаса, =0. Бұл жағдайда =0, яғни топтық орталар бір-біріне тең және топаралық вариация болмайды. Бұл топтастыру белгісі – фактор жалпы вариацияның қалыптасуына әсер етпейтінін білдіреді.
Егер байланыс функционалды болса, онда =1. Бұл жағдайда топтық ортаның дисперсиясы жалпы дисперсияға () тең, яғни топ ішілік вариация болмайды. Бұл топтастыру мүмкіндігі зерттелетін нәтиженің вариациясын толығымен анықтайды дегенді білдіреді.
Корреляциялық қатынастың мәні біреуге неғұрлым жақын болса, функционалдық тәуелділікке, белгілер арасындағы байланыс соғұрлым жақын, жақын болады.
Белгілер арасындағы байланыстың жақындығын сапалы бағалау үшін Чеддок қатынастары қолданылады.

Мысалда , бұл жұмысшылардың өнімділігі мен олардың біліктілігі арасындағы тығыз байланысты көрсетеді.

Орташа арифметикалық шаманы есептеу әдістері (қарапайым және салмақты арифметикалық орта, момент әдісі бойынша)

Орташа мәндерді анықтаймыз:

Режим (Mo) \u003d 11, себебі бұл нұсқа вариациялық қатарда жиі кездеседі (p=6).

Медиана (Me) – орташа орынды алатын нұсқаның реттік нөмірі = 23, вариациялық қатардағы бұл орынды 11-ге тең нұсқа алады. Орташа арифметикалық (M) орташа деңгейді барынша толық сипаттауға мүмкіндік береді. зерттелетін қасиет. Орташа арифметикалық шаманы есептеу үшін екі әдіс қолданылады: орташа арифметикалық әдіс және момент әдісі.

Егер вариациялық қатардағы әрбір нұсқаның кездесу жиілігі 1-ге тең болса, онда қарапайым арифметикалық орта арифметикалық орта әдісімен есептеледі: M = .

Вариациялық қатардағы нұсқаның пайда болу жиілігі 1-ден өзгеше болса, онда орташа арифметикалық шама орташа арифметикалық әдіспен есептеледі:

Момент әдісі бойынша: А – шартты орташа,

M = A + =11 += 10,4 d=V-A, A=Mo=11

Вариациялық қатардағы нұсқалар саны 30-дан көп болса, онда топтастырылған қатар құрастырылады. Топтастырылған қатар құру:

1) Vmin және Vmax Vmin=3, Vmax=20 анықтау;

2) топтардың санын анықтау (кесте бойынша);

3) топтар арасындағы интервалды есептеу i = 3;

4) топтардың басталуы мен аяқталуын анықтау;

5) әрбір топтың жиілік нұсқасын анықтау (2-кесте).

кесте 2

Топтастырылған қатарды құру техникасы

Ұзақтығы күндерде емдеу
n=45 p=480 p=30 2 p=766

Топтастырылған вариациялық қатардың артықшылығы – зерттеуші әрбір нұсқамен жұмыс істемейді, тек әр топ үшін орташа болатын нұсқалармен жұмыс жасайды. Бұл орташа мәнді есептеуді айтарлықтай жеңілдетеді.

Осы немесе басқа белгінің құндылығы салыстырмалы біртектілігіне қарамастан популяцияның барлық мүшелері үшін бірдей емес. Статистикалық популяцияның бұл ерекшелігі жалпы халықтың топтық қасиеттерінің бірімен сипатталады - қасиеттердің әртүрлілігі. Мысалы, 12 жастағы ұл балалар тобын алып, олардың бойын өлшейік. Есептеулерден кейін бұл белгінің орташа деңгейі 153 см болады.Бірақ орташа зерттелетін белгінің жалпы өлшемін сипаттайды. Осы жастағы ұлдар арасында бойы 165 см немесе 141 см ұл балалар бар.Бойы 153 см-ден басқа ұлдар неғұрлым көп болса, статистикалық популяцияда бұл белгінің әртүрлілігі соғұрлым көп болады.

Статистика бұл сипатты келесі критерийлер бойынша сипаттауға мүмкіндік береді:

шек (лим),

амплитудасы (амп),

стандартты ауытқу (у) ,

вариация коэффициенті (Cv).

Шектеу (лим)вариациялық қатардағы нұсқаның экстремалды мәндерімен анықталады:

lim=Vmin /Vmax

Амплитудасы (амп) -экстремалды опциялардың айырмашылығы:

Amp=Vmax -Vmin

Бұл мәндер тек экстремалды нұсқалардың әртүрлілігін ескереді және оның ішкі құрылымын ескере отырып, жиынтықта белгілердің әртүрлілігі туралы ақпарат алуға мүмкіндік бермейді. Сондықтан бұл критерийлер әртүрлілікті шамамен сипаттау үшін пайдаланылуы мүмкін, әсіресе бақылаулардың аз санымен (n)<30).

медициналық статистиканың вариациялық қатары

A - шартты орташа (вариация қатарында қайталанатын басқаларға қарағанда жиірек)

а - шартты ортадан (разряд) шартты ауытқу

i – интервал

1-кезең – топтардың ортасын анықтау;

2-кезең – топтардың рейтингі: топқа 0 қойылады, ең жоғары нұсқаның пайда болу жиілігі. Анау. бұл жағдайда 7-11 (жиілігі -32). Осы топтан жоғары рейтинг (-1) қосу арқылы жасалады. Төмен – арттыру (+1).

3 кезең – шартты режимді анықтау (шартты орташа). A - модальды интервалдың ортасы. Біздің жағдайда модальды интервал 7 -11, сондықтан А = 9.

4-кезең – интервалды анықтау. Қатардың барлық топтарындағы интервал бірдей және 5-ке тең. i = 5/

5-кезең – бақылаулардың жалпы санын анықтау. n = ∑p = 103.

Алынған мәліметтерді формулаға ауыстырамыз:

Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар

Топтастырылған вариациялық қатардың мәліметтерін пайдаланып, момент әдісімен орташа арифметикалық мәнді есептеңіз.

№1 нұсқа

№2 нұсқа

№3 нұсқа

№4 нұсқа

№5 нұсқа

№6 нұсқа

№7 нұсқа

№8 нұсқа

№9 нұсқа

№10 нұсқа

№11 нұсқа

№12 нұсқа

№4 тапсырма Топталмаған вариациялық қатардағы режим мен медиананы тақ санды опцияларды анықтау

Науқас балаларды стационарлық емдеу мерзімдері күндері: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

Вариациялық қатардағы режимді анықтау үшін қатарлардың рейтингі міндетті емес. Дегенмен, медиананы анықтау алдында вариациялық қатарды өсу немесе кему ретімен құру қажет.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

Режим = 16. 16 опция ең жиі кездеседі (3 рет).

Егер пайда болу жиілігі жоғары бірнеше опция болса, вариация қатарында екі немесе одан да көп Режимді көрсетуге болады.

Тақ саны бар қатардағы медиана мына формуламен анықталады:

8 - рейтингтік вариация қатарындағы медиананың реттік саны,

Бұл. Мен = 17.

Тапсырма №5 Топталмаған вариациялық қатардағы режим мен медиананы опциялардың жұп санымен анықтау.

Тапсырмада берілген деректер негізінде режим мен медиананы табу керек

Науқас балаларды стационарлық емдеу мерзімі: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11.

Біз рейтингті вариациялық қатарды жасаймыз:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

Бізде екі медиана саны 16 және 17. Бұл жағдайда медиана олардың арасындағы арифметикалық орта ретінде табылады. Мен = 16,5.

4. Жұп және тақ.

Жұп вариациялық қатарда жиіліктердің қосындысы немесе бақылаулардың жалпы саны жұп сан ретінде, тақ вариациялық қатарда тақ сан ретінде көрсетіледі.

5. Симметриялық және асимметриялық.

Симметриялық вариациялық қатарда орташа шамалардың барлық түрлері сәйкес келеді немесе өте жақын (режим, медиана, орташа арифметикалық).

Зерттелетін құбылыстардың сипатына қарай, статистикалық зерттеудің нақты міндеттері мен мақсаттарына, сонымен қатар бастапқы материалдың мазмұнына, санитарлық статистикада орташа мәндердің келесі түрлері қолданылады:

Құрылымдық орташа мәндер (режим, медиана);

арифметикалық орта;

орташа гармоникалық;

Геометриялық орта

орташа прогрессивті.

Сән (M o) - зерттелетін популяцияда жиі кездесетін ауыспалы белгінің мәні, яғни. ең жоғары жиілікке сәйкес опция. Ол вариациялық қатардың құрылымы бойынша, ешқандай есептеулерге жүгінбей-ақ тікелей табылады. Әдетте бұл орташа арифметикалық мәнге өте жақын мән және іс жүзінде өте ыңғайлы.

Медиана (M e) - вариациялық қатарды (разрядталған, яғни опцияның мәндері өсу немесе кему ретімен орналастырылған) екі тең жартыға бөлу. Медиана жиіліктерді дәйекті қосу арқылы алынатын тақ қатар деп аталады. Егер жиіліктердің қосындысы жұп санға сәйкес келсе, онда медиана шартты түрде екі орташа мәннің арифметикалық ортасы ретінде қабылданады.

Режим мен медиана ашық популяция жағдайында қолданылады, яғни. ең үлкен немесе ең кіші нұсқалардың нақты сандық сипаттамасы болмаған кезде (мысалы, 15 жасқа дейін, 50 және одан жоғары және т.б.). Бұл жағдайда орташа арифметикалық мәнді (параметрлік сипаттамаларды) есептеу мүмкін емес.

Орташа мен арифметика - ең көп таралған құндылық. Орташа арифметикалық шама әдетте арқылы белгіленеді М.

Қарапайым арифметикалық орта мен өлшенген ортаны ажыратыңыз.

қарапайым арифметикалық орта есептелген:

— жиынтық әрбір бірлік үшін атрибут туралы білімнің қарапайым тізімімен ұсынылған жағдайларда;

— әрбір нұсқаның қайталану санын анықтау мүмкін болмаса;

— егер әр нұсқаның қайталану саны бір-біріне жақын болса.

Қарапайым арифметикалық орта мына формула бойынша есептеледі:

мұндағы V - атрибуттың жеке мәндері; n – жеке мәндердің саны; - жинақтау белгісі.

Осылайша, қарапайым орташа - бұл нұсқа қосындысының бақылаулар санына қатынасы.

Мысалы: пневмониямен ауыратын 10 науқастың төсекте болу ұзақтығын анықтаңыз:

16 күн – 1 науқас; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.

төсек күні.

Арифметикалық орташа сипаттаманың жеке мәндері қайталанатын жағдайларда есептеледі. Оны екі жолмен есептеуге болады:

1. Тура (орта арифметикалық немесе тура әдіс) формула бойынша:

мұндағы P – әрбір нұсқаны бақылау жиілігі (жағдайлар саны).

Осылайша, өлшенген арифметикалық орташа шама - нұсқаның көбейтінділерінің қосындысының жиілік бойынша бақылаулар санына қатынасы.

2. Шартты орташа шамадан ауытқуларды есептеу арқылы (моменттердің әдісі бойынша).

Орташа арифметикалық шаманы есептеу үшін негіз болып табылады:

— материалды сандық белгінің нұсқалары бойынша топтастыру;

— барлық опциялар атрибут мәнінің өсу немесе кему ретімен реттелуі керек (рангіленген қатар).

Моменттер әдісімен есептеу үшін барлық интервалдардың бірдей өлшемі міндетті шарт болып табылады.

Момент әдісі бойынша орташа арифметикалық шама мына формула бойынша есептеледі:

,

мұндағы M o – шартты орташа, ол көбінесе ең жоғары жиілікке сәйкес келетін белгінің мәні ретінде қабылданады, яғни. ол жиі қайталанады (Режим).

i – интервал мәні.

a - үлкен шартты орташа опция үшін + белгісі бар және - (-1, -2 және т.б.) болатын тізбекті сандар қатары (1, 2 және т. орташадан төмен опцияға қол қойыңыз. Шартты орташа ретінде қабылданған нұсқадан шартты ауытқу 0-ге тең.

P – жиіліктер.

Бақылаулардың жалпы саны немесе n.

Мысалы: 8 жастағы ұл балалардың орташа бойын тікелей анықтау (1-кесте).

1-кесте

Биіктігі см	Ұлдар П	Орталық V нұсқа

Орталық нұсқа, интервалдың ортасы көршілес екі топтың бастапқы мәндерінің жартылай қосындысы ретінде анықталады:

; және т.б.

VP туындысы орталық нұсқаларды жиіліктерге көбейту арқылы алынады ; және т.б. Содан кейін алынған өнімдер қосылады және алынады , ол бақылаулар санына (100) бөлінеді және өлшенген арифметикалық орта алынады.

см.

Сол есепті момент әдісі арқылы шешеміз, ол үшін келесі кесте 2 құрастырылады:

2-кесте

Биіктігі см (V)	Ұлдар П

122-ні M o деп аламыз, өйткені 100 бақылаудың ішінде 33 адамның бойы 122 см. Шартты орташадан шартты ауытқуларды (а) жоғарыдағыға сәйкес табамыз. Содан кейін жиіліктер (aP) бойынша шартты ауытқулардың көбейтіндісін аламыз және алынған мәндерді қорытындылаймыз (). Нәтиже 17 болады. Соңында біз деректерді формулаға ауыстырамыз.